《创新课堂》第五章培优课　导数中函数的构造问题 能力提升 课件 高中数学选修2同步讲练测

(课件网) 培优课　导数中函数的构造问题 能力提升 1.了解导数中几种常见的构造函数的形式（数学抽象）. 2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）. 重点解读 一、利用f（x）与x构造 【例1】　（1）设f'（x）是定义域为R的函数f（x）的导函数，f'（x）＜ 3，f（－3）＝－2，则f（x）＞3x＋7的解集为（　B　） A. （－∞，－1） B. （－∞，－3） C. （－3，0）∪（1，＋∞） D. （－1，0）∪（1，＋∞） 解析： 因为f'（x）＜3，即f'（x）－3＜0，设函数g（x）＝f（x） －3x，g'（x）＝f'（x）－3＜0，则g（x）在R上单调递减，又f（－3） ＝－2，所以g（－3）＝f（－3）－3×（－3）＝7，不等式f（x）＞3x ＋7转化为f（x）－3x＞7，即g（x）＞g（－3），所以x＜－3.故选B. B （2）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式xf' （x）＋f（x）＜0成立，若a＝30.3·f（30.3），b＝logπ3·f（logπ3），c ＝log3 ·f ，则a，b，c的大小关系是 . 解析： 令g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）.由条 件知，当x＞0时，g'（x）＜0，即g（x）在（0，＋∞）上单调递减.又f （x）为偶函数，则g（x）为奇函数，故g（x）在R上单调递减.又log3 ＜logπ3＜30.3，所以c＞b＞a. c＞b＞a 【规律方法】 常见构造函数的形式 （1）对于f'（x）±g'（x）＞0，构造h（x）＝f（x）±g（x）； （2）对于f'（x）＞a，构造h（x）＝f（x）－ax； （3）对于xf'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝xf（x）； （4）对于xf'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝ . 训练1　设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝ 0，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值 范围是（　　） A. （－∞，－1）∪（0，1） B. （－1，0）∪（1，＋∞） C. （－∞，－1）∪（－1，0） D. （0，1）∪（1，＋∞） √ 解析：　令F（x）＝ ，因为f（x）为奇函数，所以F（x）为偶 函数，由于F'（x）＝ ，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0， 即F'（x）＜0，所以F（x）＝ 在（0，＋∞）上单调递减，根据偶 函数图象的对称性，F（x）＝ 在（－∞，0）上单调递增，又F （1）＝F（－1）＝ ＝0，数形结合可知，使得f（x）＞0成立的x 的取值范围是（－∞，－1）∪（0，1）. 二、利用f（x）与ex构造 【例2】　若函数f（x）对任意x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，则 （　A　） A. 3f（ln 5）＞5f（ln 3） B. 3f（ln 5）＝5f（ln 3） C. 3f（ln 5）＜5f（ln 3） D. 3f（ln 5）与5f（ln 3）的大小不确定 A 解析：令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ，因为对任意x∈R 都有f'（x）＞f（x），所以g'（x）＞0，即g（x）在R上是增函数.又ln 3＜ln 5，所以g（ln 3）＜g（ln 5），即 ＜ ，所以5f（ln 3）＜3f（ln 5），故选A. 【规律方法】 f（x）与ex构造常见的形式 （1）对于f'（x）＋nf（x）＞0，构造函数h（x）＝enxf（x）； （2）对于f'（x）－nf（x）＞0，构造函数h（x）＝ . 训练2　函数f（x）的导函数为f'（x），对任意x∈R，都有f'（x）＞－f （x）成立，若f（ln 2）＝ ，则不等式f（x）＞ 的解集为 . 解析：由题意，对任意x∈R，都有f'（x）＞－f（x）成立，即f'（x）＋ f（x）＞0.令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝f（x）ex＋f'（x）ex＝ ex[f（x）＋f'（x）]＞0，所以函数g（x）在R上是增函数.不等式f （x）＞ 即exf（x）＞1，即g（x）＞1.因为f（ln 2）＝ ，所以g（ln 2）＝eln 2f（ln 2）＝2× ＝1.故当x＞ln 2时，g（x）＞g（ln 2）＝1， 所以不等式g（x）＞1的解集为（ln 2，＋∞）. （ln 2，＋ ∞） 三、利用f（x）与 sin x， cos x构造 【例3】　已知函数f（ ... ...