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课件网) 培优课 利用导数研究不等式 能力提升 1.会利用导数证明不等式（逻辑推理、数学运算）. 2.利用导数研究恒成立问题（逻辑推理、数学运算）. 重点解读 一、利用导数证明不等式 【例1】 已知函数f（x）＝ex－e（ln x＋1），求证：f（x）≥0恒成立. 证明：由题意知f'（x）＝ex－ ＝ （x＞0）， 设F（x）＝xex－e（x＞0），则F（x）在（0，＋∞）上单调递增，且 F（1）＝0.当x∈（0，1）时，F（x）＜0， ∴f'（x）＝ ＜0，f（x）单调递减； 当x∈（1，＋∞）时，F（x）＞0， ∴f'（x）＝ ＞0，f（x）单调递增. ∴f（x）min＝f（1）＝0，∴f（x）≥0恒成立. 【规律方法】 证明不等式f（x）＞g（x），x∈（a，b）的方法 （1）将要证明的不等式f（x）＞g（x）移项可以转化为证明f（x）－g （x）＞0； （2）构造函数F（x）＝f（x）－g（x），研究F（x）的单调性； （3）若 '＞0，说明函数F（x）＝f（x）－g（x）在 （a，b）上是增函数，只需保证F（a）≥0； （4）若 '＜0，说明函数F（x）＝f（x）－g（x）在 （a，b）上是减函数，只需保证F（b）≥0. 训练1 已知函数f（x）＝x3－3ln x，g（x）＝x3＋ －3，证明：f （x）≤g（x）. 证明：因为f（x）＝x3－3ln x，g（x）＝x3＋ －3， 所以要证f（x）≤g（x），即证x3－3ln x≤x3＋ －3，即证ln x＋ － 1≥0， 令h（x）＝ln x＋ －1，x＞0， 则h'（x）＝ － ＝ ， 令h'（x）＜0，得0＜x＜1；令h'（x）＞0，得x＞1. 所以h（x）在 上单调递减，在 上单调递增，则h（x） ≥h ＝ln 1＋1－1＝0， 即ln x＋ －1≥0恒成立， 所以f（x）≤g（x）. 二、利用导数研究不等式恒成立问题 【例2】 已知函数f（x）＝ln x＋ax－a2x2（a＞0）.若f（x）＜0在定 义域内恒成立，求实数a的取值范围. 解：f（x）的定义域为（0，＋∞）， 令f'（x）＝ ＝0， 得x1＝－ （舍去），x2＝ ， 所以x，f'（x），f（x）的变化情况如下表， x f'（x） ＋ 0 － f（x） 单调递增 单调递减 所以f（x）max＝f（ ）＝ln ＜0，所以a＞1. 所以a的取值范围是（1，＋∞）. 【规律方法】 由不等式恒成立求参数的取值范围的策略 （1）求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数最值的问题； （2）分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f（x）max或a＜f （x）min的形式，通过导数的应用求出f（x）的最值，即得参数的取值 范围. 训练2 已知函数f（x）＝xln x，若对于所有x≥1都有f（x）≥ax－1， 求实数a的取值范围. 解：依题意，得f（x）≥ax－1在[1，＋∞）上恒成立，即不等式a≤ln x ＋ 在x∈[1，＋∞）上恒成立，亦即a≤ ，x∈[1，＋∞）. 设g（x）＝ln x＋ （x≥1），则g'（x）＝ － ＝ . 令g'（x）＝0，得x＝1. 当x≥1时，g'（x）≥0，故g（x）在[1，＋∞）上单调递增. 所以g（x）在[1，＋∞）上的最小值是g（1）＝1. 故a的取值范围是（－∞，1]. 1. 已知函数f（x）＝ x4－2x3＋3m，x∈R，若f（x）＋9≥0恒成立， 则m的取值范围是（ ） √ 解析： f'（x）＝2x3－6x2＝2x2（x－3），令f'（x）＝0得x＝0或x＝ 3，验证可知x＝3是函数的最小值点，故f（x）min＝f（3）＝3m－ ， 由f（x）＋9≥0恒成立得f（x）≥－9恒成立，即3m－ ≥－9，所以 m≥ . 2. 若不等式ax2≥ln x恒成立，则实数a的取值范围是（ ） 解析： 由题设知，a≥ 恒成立，令f（x）＝ 且x＞0，则f'（x） ＝ ＝ ，∴当0＜x＜ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 当x＞ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.∴f（x）≤f（ ）＝ ， 故a≥ . √ 3. 当x＞0时，证明：不等式ln（x＋1）＞x－ x2. 证明：设f（x）＝ln（x＋1）－x＋ x2， 则f'（x）＝ －1＋x＝ . 当x∈（－1，＋∞）时，f'（x）＞ ... ...
