第一课时 等比数列的概念及通项公式 课标要求 情境导入 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念（数学抽象）. 2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程（逻辑推理、数学运算）. 3.能应用等比数列通项公式进行简单运算（数学运算）. 我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”其构成一个数列：9，92，93，…，98.这就是今天我们要探讨的等比数列. 知识点一｜等比数列的概念 问题1 观察下面三个问题中的数列，回答后面的问题： ①你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条，其面条根数依次是1，2，4，8，16，32，64，128，…； ②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭，”这句话中隐藏着一列数：，，，，，…； ③－的n次幂按1次幂，2次幂，3次幂，…，依次排成一列数：－，，－，，…. 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你发现了什么规律？ 提示：通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于①＝2，…；对于②＝，…；对于③＝－，….其规律为从第2项开始，后一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 【知识梳理】 1.概念：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的 前 一项的 比 都等于 同一个 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常用字母q表示（显然q≠0）. 2.符号表示：＝q（n∈N*且n≥2）或＝q（n∈N*）. 提醒：公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数. 【例1】 （链接教材P31练习1题）判断下列数列是不是等比数列，如果是，写出它的公比. （1）1，，，，，…； 解：不是等比数列. （2）10，10，10，10，10，…； 解：是等比数列，公比为1. （3），（）2，（）3，（）4，…； 解：是等比数列，公比为. （4）1，0，1，0，1，0，…； 解：不是等比数列. （5）1，－4，16，－64，256，…. 解：是等比数列，公比为－4. 【规律方法】 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 训练1 〔多选〕以下条件中，不能判定数列是等比数列的有（ ） A.数列1，2，6，18，… B.数列{an}满足＝2，＝2 C.常数列a，a，…，a，… D.数列{an}中，＝q（q≠0），其中n∈N* 解析：ABC A中，≠，不符合等比数列的定义，故不是等比数列；B中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；C中，当a＝0时，不是等比数列；D中，符合等比数列的定义，是等比数列. 知识点二｜等比中项 问题2 任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项吗？ 提示：不一定，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项. 【知识梳理】 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时，G2＝ ab . 提醒：（1）若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列；（2）只有同号的两个实数才有等比中项；（3）若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 【例2】 （1）－2和＋2的等差中项与等比中项分别为（ C ） A.，±2 B.2，± C.，±1 D.1，± 解析：－2和＋2的等差中项为＝，－2和＋2的等比中项为±＝±1. （2）若数列1，a，b，c，9是等比数列 ... ...
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