《创新课堂》4.3.2第二课时　等比数列前n项和的性质及应用 练习 高中数学选修2同步讲练测

第二课时　等比数列前n项和的性质及应用 课标要求 情境导入 1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题（数学运算）. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题（逻辑推理、数学运算）. 　　同学们，前面我们就用等差数列的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质. 　　 知识点一｜等比数列前n项和的性质 问题　（1）你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示？ 提示：法一 Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 法二 Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm. （2）类比等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…（n为偶数且q＝－1除外）的关系吗？ 提示：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列.证明如下： 法一 当q＝1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn＝，S2n＝， S3n＝. S2n－Sn＝－＝， S3n－S2n＝－＝， 而（S2n－Sn）2＝［］2， Sn（S3n－S2n）＝×， 故有（S2n－Sn）2＝Sn（S3n－S2n）， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. 法二 由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn， S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn， 故有（S2n－Sn）2＝Sn（S3n－S2n）， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列. （3）类比等差数列前n项和性质中的奇数项和、偶数项和的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示：若等比数列{an}的项数有2n项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1， 容易发现两列式子中对应项之间存在联系， 即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q. 若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋， 其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1， 从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项， 于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶. 【知识梳理】 设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则： （1）当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝　　（n，m∈N*）； （2）Sn＋m＝Sn＋　qnSm　（n，m∈N*）； （3）数列{an}为公比不为－1的等比数列（或公比为－1，且n不是偶数），则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成公比为　qn　的等比数列； （4）若S偶，S奇分别是数列{an}的偶数项和与奇数项和，则： ①在其前2n项中，＝　q　； ②在其前2n＋1项中，S奇＝　a1＋qS偶　. 　　提醒：当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列. 角度1　与“片段和”相关的性质 【例1】 （链接教材P37例9）（1）等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4＝（　A　） A.28 B.32 C.21 D.28或－21 解析：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，即7，S4－7，91－S4成等比数列，∴（S4－7）2＝7（91－S4），解得S4＝28或S4＝－21.∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝（a1＋a2）（1＋q2）＝S2（1＋q2）＞S2，∴S4＝28. （2）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则 ＝（　D　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：∵{an}是等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10也成等比数列.∵＝，∴设S5＝2k（k≠0），则S10＝k，∴S10－S5＝－k，∴S15－S10＝，∴S15＝，∴＝＝. 【规律方法】 等比数列{an}“片段和”的性质 （1）正确理解等比数列“片段和”性质的含意，即当q≠－1时，连续m项的和Sm，S2m－Sm，S3m－S2m（或a1＋a2＋…＋am，am＋1＋am＋2＋…＋a2m，a2m＋1＋a2m＋ ... ...