重点解读 1.能利用等差数列前n项和求解项的比值问题（数学运算）. 2.掌握简单的构造等差数列问题（逻辑推理、数学运算）. 3.会求数列{｜an｜}的前n项和（数学运算）. 一、利用等差数列前n项和求解项的比值问题 【例1】 （1）已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝（ B ） A. B. C. D. 解析：利用等差数列前n项和的性质得＝＝＝. （2）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝（ B ） A. B. C. D. 解析：因为数列{an}，{bn}均为等差数列，故由＝，可设Sn＝n（2n＋1）k，Tn＝n（3n－1）k，则a7＝S7－S6＝105k－78k＝27k，b5＝T5－T4＝70k－44k＝26k，则＝＝.故选B. 【规律方法】 若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·. 训练1 （1）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝（ C ） A. B. C. D. 解析：（1）＝＝＝＝＝.故选C. （2）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝ . 解析：＝×，即＝×，所以＝×＝. 二、构造等差数列的应用 【例2】 已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3（n∈N*）. （1）求证：数列{}是等差数列； 解：证明：由题意得＝＝＝＝＝＋， 所以－＝，故数列{}是等差数列. （2）求数列{an}的通项公式. 解：由（1）知＝＋（n－1）×＝，所以an＝. 【规律方法】 当已知数列{an}不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出含an的式子与n的关系式，进而求出an.由递推公式转化为等差数列的常见形式如下： （1）转化为（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝常数，则数列{an＋1－an}是等差数列； （2）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列； （3）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列； （4）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列； （5）转化为－＝常数，则数列{}是等差数列. 训练2 在数列{an}中，若a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式. 解：由已知3anan－1＋an－an－1＝0， 在等式两侧同除以anan－1，得3＋－＝0 －＝3， 即数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列， 故有＝1＋3（n－1） an＝. 三、求数列{｜an｜}的前n项和 【例3】 已知数列{an}中，a1＝，an＝2－（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn＝（n∈N*）. （1）证明{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式； 解：证明：bn－bn－1＝－＝－＝－＝1， 又b1＝＝－，∴数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列. ∴bn＝b1＋（n－1）×1＝n－. （2）令Tn＝｜b1｜＋｜b2｜＋｜b3｜＋…＋｜bn｜，求Tn. 解：记{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝， 由bn＝n－≥0，得n≥，即n≤13时，bn＜0；n≥14时，bn＞0， ①n≤13时，Tn＝｜b1｜＋｜b2｜＋｜b3｜＋…＋｜bn｜＝－b1－b2－b3－…－bn＝－Sn＝. ②n＞13时Tn＝｜b1｜＋｜b2｜＋｜b3｜＋…＋｜bn｜＝－b1－b2－b3－…－b13＋b14＋b15＋b16＋…＋bn＝Sn－2S13＝. ∴Tn＝ 【规律方法】 求数列{｜an｜}的前n项和的步骤 （1）解不等式an≥0（或an≤0）寻找{an}的正负项分界点； （2）求和：①若{an}各项均为正数（或均为负数），则{｜an｜}各项的和等于{an}的各项的和（或其相反数）；②若a1＞0，d＜0（或a1＜0，d＞0），这时数列{an}只有前面有限项为正数（或负数），可分段求和再相加. 训练3 已知等差数列{an}的前n（n∈N*）项和为Sn，且a2＝3，S8＝64. （1）求数列{an}的通项公式an； 解：设等差数列{an}的公差为d. ∵a2＝3，S8＝64， ∴即解得 ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1. （2）设bn＝｜9－an｜，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：由（1）得bn＝｜9－an｜＝｜9－（2n－1）｜＝｜10－2n｜，设cn＝10－2n，{cn}的前n项和为Pn， 则Pn＝×n＝－n2＋9n， ... ...
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