重点解读 1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法（数学运算）. 2.会用构造法公式解决一些简单的问题（数学运算）. 一、形如an＋1＝pan＋q（p，q≠0且p≠1） 【例1】 在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋，n∈N*，则an＝ ×（）n＋2＋ . 解析：因为an＋1＝an＋，令an＋1＋λ＝（an＋λ），则an＋1＝an－λ，所以－λ＝，解得λ＝－，所以an＋1－＝（an－），所以＝，因为a1－＝，所以数列{an－}是首项为，公比为的等比数列，所以an－＝×（）n－1＝×（）n＋2，所以an＝×（）n＋2＋. 【规律方法】 求解递推公式形如an＋1＝pan＋q（p≠0，q≠0且p≠1）的数列{an}的通项公式的关键：一是利用待定系数法构造，即构造an＋1＋λ＝p（an＋λ）的形式；二是找到{an＋λ}为等比数列（其中 λ＝）. 训练1 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a10＝（ ） A.2 045 B.1 021 C.1 027 D.2 051 解析：A ∵an＋1＝2an＋3可变形为an＋1＋3＝2（an＋3），故数列{an＋3}为等比数列，首项为4，公比为2，∴an＋3＝4·2n－1.∴an＝4·2n－1－3＝2n＋1－3，∴a10＝2 045.故选A. 二、形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠0） 角度1 f（n）为一次多项式 【例2】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2n＋1，则数列{an}的通项公式为an＝3n－n－1. 解析：设an＋1＋A（n＋1）＋B＝3（an＋An＋B），∴an＋1＝3an＋2An＋2B－A.与原式比较系数得解得∴an＋1＋（n＋1）＋1＝3（an＋n＋1）.令bn＝an＋n＋1，则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1＋1＝3≠0，∴{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴bn＝3·3n－1＝3n，∴an＝3n－n－1. 【规律方法】 一般地，当f（n）为一次多项式时，即数列的递推关系为an＋1＝Aan＋Bn＋C型，可转化为an＋1＋λ1（n＋1）＋λ2＝A（an＋λ1n＋λ2）的形式来求通项公式. 角度2 f（n）为指数式 【例3】 （1）已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n（n≥2），且a1＝1，则an＝（n－）×2n； 解析：因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，得＝＋1，即－＝1，又＝，所以{}是以为首项，1为公差的等差数列，即＝＋（n－1）×1＝n－，所以an＝（n－）×2n. （2）已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝2an＋3n＋1，则an＝3n＋1－3×2n－1. 解析：令an＋1－A·3n＋1＝2（an－A·3n），则an＋1＝2an＋·3n＋1，由已知，＝1，得A＝3，所以an＋1－3×3n＋1＝2（an－3×3n），即an＋1－3n＋2＝2（an－3n＋1），又a1－32＝6－9＝－3≠0，所以{an－3n＋1}是首项为－3，公比为2的等比数列，于是an－3n＋1＝－3×2n－1，故an＝3n＋1－3×2n－1. 【规律方法】 1.形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式，一般等式两边除以pn，构造出一个新的数列{}，再求an. 2.形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式，一般可转化为an＋1＋λqn＋1＝p（an＋λqn）的形式，构造出一个新的等比数列{an＋λqn}，然后再求an. 训练2 （1）在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝2an＋1－an，则{an}的通项公式为 an＝n＋1 ； 解析：设an＋2－x1an＋1＝x2（an＋1－x1an），结合已知可得x1＝x2＝1，a2－a1＝3－2＝1≠0，于是{an＋1－an}是首项为1，公比为1的等比数列，所以an＋1－an＝1，所以{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n＋1. （2）已知数列{an}满足＝＋，且a1＝1，则an＝ . 解析：由题意，等式两边同乘2n，得＝＋1，即－＝1，所以{}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋（n－1）×1＝n＋1，即an＝. 三、形如an＋1＝（p，q，r≠0） 【例4】 在数列{bn}中，若b1＝－1，bn＋1＝，n∈N*，则bn＝ . 解析：对递推式bn＋1＝的两边同时取倒数，得＝，即＝2·＋3，因此＋3＝2（＋3），＋3＝2，故{＋3}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是＋3＝2·2n－1＝2n，可得 ... ...
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