培优课 数列的函数特征 1.已知数列{an}的通项公式为an＝，按项的变化趋势，该数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 2.对任意的a1∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞an（n∈N*），则函数y＝f（x）的图象可能是（ ） 3.若数列{an}满足anan＋1an＋2an＋3＝20，则a100＝（ ） A.a1 B.a2 C.a3 D.a4 4.已知数列{an}的通项公式为an＝，其最大项和最小项的值分别为（ ） A.1，－ B.0，－ C.，－ D.1，－ 5.设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是递增数列，则实数b的取值范围为（ ） A.[1，＋∞） B.[－2，＋∞） C.（－3，＋∞） D.（－，＋∞） 6.〔多选〕已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－n2＋8n，则（ ） A.{an}是递减数列 B.a10＝－11 C.当n＞4时，an＞0 D.当n＝4时，Sn取得最大值 7.〔多选〕若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是（ ） A.Tn无最大值 B.an有最大值 C.T2 025＝1 D.a2 025＝2 8.已知数列{an}的通项公式为an＝｜n－｜，则an的最小项为 ，此时n的值为 . 9.请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0＜an＜2.这个数列的通项公式可以是 . 10.在数列{an}中，已知an＝－（n≥2，n∈N*）. （1）求证an＋2＝an； （2）若a4＝4，求a20的值； （3）若a1＝1，求a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7的值. 11.已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1. （1）求a1，a2和an； （2）证明：数列{an}为递增数列. 12.已知数列{an}中，an＝1＋（n∈N*，a∈R且a≠0）. （1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围. 2 / 2重点解读 1.会判断数列的周期性，并会用数列的周期性求数列的项（逻辑推理、数学运算）. 2.会判断数列的单调性，并会用数列的单调性解决最大（小）项问题（逻辑推理、数学运算）. 一、数列的周期性 【例1】 已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝，则a2 025＝（ ） A.3 B. C. D.－2 解析：C 由数列{an}满足an＋1＝，且a1＝，得a2＝＝，a3＝＝3，a4＝＝－2，a5＝＝，由此可知数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 025＝a4×506＋1＝a1＝.故选C. 【规律方法】 利用数列的周期性求数列中某一项的步骤 （1）根据已知的数列的递推公式，写出数列的前几项，观察项与项之间的关系直至出现重复的项； （2）确定该数列的周期； （3）利用周期性求出要求的项. 训练1 在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝，则a2 025＝（ ） A.2 B. C.0 D.－ 解析：D 因为a1＝0，an＋1＝，所以a2＝＝，a3＝＝－，a4＝＝0，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，由2 025÷3＝675，则a2 025＝a3＝－.故选D. 二、数列的单调性及其应用 角度1 数列单调性的判断 【例2】 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n（n∈N*），判断该数列的单调性. 解：法一 an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1）， 则an＋1－an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0， 即an＋1＞an，故数列{an}是递增数列. 法二 an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1）， 则＝＝·＞1. 又易知an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列. 【规律方法】 解决数列的单调性问题的两种方法 （1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列； （2）作商比较法：根据（an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断. 角度2 数列单调性的应用 【例3】 已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋1）·（）n（n∈N*），试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和 ... ...
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