重点解读 1.熟练掌握等差、等比数列的求和公式（数学运算）. 2.掌握并项转化法、分组转化法、裂项相消法、错位相减法等求和方法（数学运算）. 一、并项转化法求和 【例1】 已知数列an＝（－1）nn，求数列{an}的前n项和Sn. 解：若n是偶数，则Sn＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋（－5＋6）＋…＋[－（n－1）＋n]＝； 若n是奇数，则Sn＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋（－5＋6）＋…＋[－（n－2）＋（n－1）]＋（－n）＝－n＝－. 综上所述，Sn＝ 【规律方法】 并项转化法求和的解题策略 （1）一般地，当数列中的各项正负交替，且各项的绝对值成等差数列时，可以采用并项转化法求和； （2）在利用并项转化法求和时，因为数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行分类讨论，最终的结果往往可以用分段形式来表示. 训练1 若数列{an}的通项公式是an＝（－1）n＋1·（3n－2），则a1＋a2＋…＋a2 025＝（ ） A.－3 037 B.3 037 C.－3 036 D.3 036 解析：B S2 025＝（1－4）＋（7－10）＋…＋（6 067－6 070）＋6 073＝1 012×（－3）＋6 073＝3 037. 二、分组转化法求和 【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点（Sn，an＋1）在直线y＝3x＋1上. （1）当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ 解：因为点（Sn，an＋1）在直线y＝3x＋1上， 所以an＋1＝3Sn＋1， 当n≥2时，an＝3Sn－1＋1， 于是an＋1－an＝3（Sn－Sn－1），即an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an. 又当n＝1时，a2＝3S1＋1，即a2＝3a1＋1＝3t＋1， 所以当t＝1时，a2＝4a1，此时数列{an}是等比数列. （2）在（1）的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 解：由（1）可得an＝4n－1，an＋1＝4n， 所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n， 所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝（40＋1）＋（41＋2）＋…＋（4n－1＋n） ＝（40＋41＋…＋4n－1）＋（1＋2＋…＋n） ＝＋. 【规律方法】 分组转化法求和的适用题型 一般情况下，形如cn＝an±bn，其中数列{an}与{bn}一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列{cn}的前n项和，分别利用等差数列和等比数列前n项和公式求和即可. 训练2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1＝b1＝2，a3＝b1＋b2，S3＝b3＋4. （1）求{an}，{bn}的通项公式； 解：设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q（q＞0）， 依题意得解得d＝q＝2， 所以数列{an}的通项公式为an＝2n，数列{bn}的通项公式为bn＝2n. （2）记cn＝（k∈N*），求数列{cn}的前21项的和. 解：由（1）知，a2k－1＝4k－2，数列{a2k－1}是等差数列，首项为2，公差为4，b2k＝22k＝4k，数列{b2k}是等比数列，首项为4，公比为4， 而cn＝（k∈N*）， 则数列{cn}的前21项的和T21＝（a1＋a3＋…＋a21）＋（b2＋b4＋…＋b20）＝11×2＋×4＋＝， 所以数列{cn}的前21项的和为. 三、裂项相消法求和 【例3】 已知各项均为正数的等差数列{an}满足a1＝1，＝＋2（an＋1＋an）. （1）求{an}的通项公式； 解：各项均为正数的等差数列{an}满足a1＝1，＝＋2（an＋1＋an）， 整理得（an＋1＋an）（an＋1－an）＝2（an＋1＋an）， 由于an＋1＋an≠0，所以an＋1－an＝2， 故数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1. （2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：由（1）可得bn＝＝＝， 所以Sn＝×（－1＋－＋…＋－）＝（－1）. 【规律方法】 1.裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项与消项. （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止； （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后 ... ...
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