《创新课堂》4.2.2第二课时　等差数列前n项和的性质及应用 练习 高中数学选修2同步讲练测

第二课时　等差数列前n项和的性质及应用 课标要求 情境导入 1.理解并应用等差数列前n项和的性质（逻辑推理、数学运算）. 2.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题（数学建模、数学运算）. 　　前面我们学习了等差数列通项公式an的有关性质，那么等差数列前n项和Sn有哪些性质呢？这就是这节课我们要学习的内容. 　　 知识点一｜等差数列前n项和的性质 问题1　（1）若等差数列{an}的前n项和为Sn，试探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…有什么关系？ 提示：S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋＝Sn＋（a1＋nd）＋（a2＋nd）＋…＋（an＋nd）＝2Sn＋n2d，同样我们发现＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. （2）若等差数列{an}的前n项和为Sn，则{}是等差数列吗？ 提示：由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，得＝a1＋（n－1），所以数列{}是以a1为首项，以为公差的等差数列. （3）在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么数列{an}的所有偶数项的和S偶与所有奇数项的和S奇之间有什么关系？ 提示：因为S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n， 所以S偶－S奇＝（a2－a1）＋（a4－a3）＋（a6－a5）＋…＋（－a2n－1）＝nd. 又由等差数列的性质知a1＋a2n－1＝2an， a2＋a2n＝2an＋1，且S奇＝， S偶＝，所以＝. 【知识梳理】 等差数列前n项和的常见性质 （1）等差数列的依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列； （2）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{}也是等差数列，且公差为　　； （3）在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－（m＋n）； （4）若等差数列的项数为2n，则S2n＝n（an＋an＋1），S偶－S奇＝　nd　，＝（S偶≠0）； （5）若等差数列的项数为2n－1（n≥2，n∈N*），则S2n－1＝（2n－1）an（an是数列的中间项），S奇－S偶＝an，＝（S偶≠0）. 【例1】　（1）（链接教材P23练习5题）在项数为2n＋1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝（　B　） A.9 B.10 C.11 D.12 解析：根据等差数列前n项和的性质可得＝＝，解得n＝10. （2）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110. 解：法一　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列， 设公差为d， ∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，解得d＝－22， ∴前11项和S110＝11×100＋×（－22）＝－110. 法二　由{}也是等差数列，构造新的等差数列，＝10，＝， 则d＝＝－， ∴＝＋10d＝＋（－）＝－1， ∴S110＝－110. 法三　直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－（m＋n），可得S110＝－110. 【规律方法】 　利用等差数列前n项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列的问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法； （2）等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果； （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 训练1　（1）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－10，－＝1，则S10＝　－10　； 解析：在等差数列中，因为a1＝－10，－＝1，所以＝－10，所以{}是以－10为首项，1为公差的等差数列，所以＝－10＋9×1＝－1，S10＝－10. （2）已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是　－4　. 解析：设等差数列{an}的项数为2m，∵末项与首项的差为－28，∴a2m－a1＝（2m－1）d＝－28①，∵S奇＝50，S偶＝34，∴S偶－S奇＝34－50＝－16＝md②，由①②得d＝－4. 知识点二｜等差数列前n项和的最值问题 问题2　已知 ... ...