一、导数的概念及运算 1.导数的概念是由“以直代曲”的思想方法近似表示，然后利用“无穷逼近”的极限思想精确表达的一个数学概念，正确理解导数的概念是中学数学学科素养的一大提升. 2.在导数的概念建立之后，利用定义会求简单初等函数的导数，领悟极限算法的基本思想，掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，会求简单的复合函数的导数. 【例1】 （1）函数y＝x2cos 2x的导数为（ ） A.y'＝2xcos 2x－x2sin 2x B.y'＝2xcos 2x－2x2sin 2x C.y'＝x2cos 2x－2xsin 2x D.y'＝2xcos 2x＋2x2sin 2x （2）当函数y＝（a＞0）在x＝x0处的导数为0时，x0＝（ ） A.a B.±a C.－a D.a2 （3）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式f（x）＝－x3＋2f'（1）x＋ex，则f'（1）＝ . 【反思感悟】 求函数导数的一般方法 连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和或差的形式，再求导 复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 二、导数的几何意义（考教衔接） 导数的几何意义是由曲线的割线逼近切线变化过程的数学表示，即函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是该函数图象在该点（x0，f（x0））处的切线斜率. 教材原题 （1）（链接教材P81习题4题）已知函数y＝xln x. ①求这个函数的导数； ②求这个函数的图象在点（1，0）处的切线方程. （2）（链接教材P104复习参考题13题）已知曲线y＝x＋ln x在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2＋（2a＋3）x＋1只有一个公共点，求a的值. 变式1 求切线方程 （2024·新高考Ⅱ卷16题节选）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程. 变式2 已知切线求参数 （2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 . 变式3 公切线问题 设曲线y＝ln x与y＝（x＋a）2有一条斜率为1的公切线，则a＝（ ） A.－1 B.－ C. D. 【反思感悟】 利用导数的几何意义可以求曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f'（x0）（x－x0），要明确“过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程”与“在点P（x0，y0）处的曲线y＝f（x）的切线方程”的区别. 三、函数的单调性与导数（考教衔接） 利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础，一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性，从而掌握函数图象的变化趋势，达到解决问题的目的. 教材原题 （链接教材P104复习参考题19（1）题）已知函数f（x）＝ae2x＋（a－2）ex－x.讨论f（x）的单调性. 变式1 求不含参函数的单调区间 （2022·新高考Ⅱ卷22题节选）已知函数f（x）＝xeax－ex.当a＝1时，讨论f（x）的单调性. 变式2 求含参函数的单调区间 （2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x.讨论f（x）的单调性. 变式3 已知单调性求参数 （2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 【反思感悟】 利用导数求函数单调区间的方法 （1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间； （2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间； （3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间. 提醒：若所求函数 ... ...
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