第一课时 导数的概念 课标要求 情境导入 1.了解导数概念的实际背景 （数学抽象）. 2.理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与意义（数学抽象）. 3.进一步体会极限思想（数学抽象）. 在实际生产生活中，我们需要研究一些物体的瞬时变化率，例如： （1）摩托车的运动方程为s＝8＋3t2，其中s表示位移，t表示时间，知道它在某一时刻的瞬时速度就可以更好地指导运动员进行比赛； （2）冶炼钢铁时需要测定铁水的瞬时温度来确定其质量标准； （3）净化饮用水时需要根据净化费用的瞬时变化率来控制净化成本. 上述实例中都涉及到某个量的瞬时变化率，在数学意义上，这些实际上是某个函数量的瞬时变化率，它在数学上称为什么？ 知识点一｜函数的平均变化率 问题1 对比上节课中平均速度的概念，一般情况下，函数y＝f（x）的平均变化率如何理解？ 提示：如图所示，函数f（x）在区间上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），事实上kAB＝＝.另外，从图形上看，它代表割线AB的斜率. 【知识梳理】 对于函数y＝f（x），设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0＋Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f（x0＋Δx）－f（x0）.我们把比值，即＝ 叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变化率. 提醒：平均变化率＝的几何意义就是函数y＝f（x）图象上的两点（x0，f（x0））与（x0＋Δx，f（x0＋Δx））所在直线的斜率. 【例1】 已知函数y＝h（x）＝－4.9x2＋6.5x＋10. （1）计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01； （2）根据（1）中的计算，当Δx越来越小时，函数h（x）在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解：（1）∵Δy＝h（1＋Δx）－h（1）＝－4.9（Δx）2－3.3Δx， ∴＝－4.9Δx－3.3. ①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1. ②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2. ③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79. ④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349. （2）当Δx越来越小时，函数h（x）在区间上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 【规律方法】 求函数平均变化率的三个步骤 （1）求自变量的变化量Δx＝x2－x1； （2）求函数值的变化量Δy＝f（x2）－f（x1）； （3）求平均变化率＝. 训练1 〔多选〕已知函数f（x）的图象如图，则函数f（x）在区间上的平均变化率的情况是（ ） A.在区间上的平均变化率最小 B.在区间上的平均变化率大于0 C.在区间上的平均变化率比上的大 D.在区间上的平均变化率最大 解析：BC 函数f（x）在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，＜0，即函数f（x）在区间上的平均变化率小于0，即选项D错误；在区间，，上时，＞0且Δx相同，由图象可知函数在区间上的最大，故选项A错误，B、C正确. 知识点二｜导数的概念 问题2 （1）平均速度和瞬时速度有什么关系？ 提示：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值. （2）类比平均速度与瞬时速度的关系，你认为瞬时变化率的定义是什么？ 提示：瞬时变化率为 ＝ . 【知识梳理】 1.定义：如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有 极限 ，则称y＝f（x）在x＝x0处 可导 ，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率）. 2.写法：记作f'（x0）或y'，即f'（x0）＝＝. 提醒：对导数概念的再理解：①函数应在x＝x0的附近有定义，否则导数不存在；②导数是一个局部概念，它只与函数y＝f（x）在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关；③导数的实质是一个极限值. 【例2】 （1）已知f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）＝k，则＝ ； 解析： ＝＝f'（x0） ... ...
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