(课件网) 第五章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 一、周期函数 1. 周期函数 条件 ①对于函数f（x），存在一个 常数T ②当x取定义域内的每一个值时，都有 ＝f（x） 结论 函数f（x）叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 预习教材新知 非零 f（x＋T） 2. 最小正周期 条件 如果周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的 结论 这个最小 叫做f（x）的最小正周期 记一记：1.并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期 也不一定唯一. 2. 如果T是函数f（x）的一个周期，那么nT（n∈Z且n≠0）也是f（x） 的周期. 3. 函数的周期性是函数在定义域上的整体性质.若一个函数为周期函数，则 只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质. 正数 正数 二、正弦函数、余弦函数的奇偶性 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于 y轴对称. √ A. y＝ sin x B. y＝1＋ cos x C. y＝ sin 2x 解析：图象关于y轴对称，则为偶函数，故选B. A. 0 D. π B C 课堂互动探究 三角函数的周期 B. π C. 2π D. 4π D 解析：易知f（x）的最小正周期T＝6， f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＝0. f（0）＋f（1）＋…＋f（13）＝2[f（0）＋f（1）＋ f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）]＋f（12）＋f（13）＝f（12）＋f（13）＝f（0）＋f（1）＝2＋1＝3. 3 3. f（x）＝｜ sin x｜的最小正周期为 . 解析：函数y＝｜ sin x｜的图象如图所示. 由图象可知最小正周期T＝π. π 三角函数的奇偶性 【例1】判断下列函数的奇偶性： （2）f（x）＝ cos （2π－x）－x sin x. 解： （2）函数的定义域为R，对任意x∈R，都有－x∈R. 因为f（x）＝ cos x－x sin x， 所以f（－x）＝ cos （－x）＋x sin （－x）＝ cos x－x sin x＝f（x）. 因此函数f（x）是偶函数. 三角函数的奇偶性与周期性的简单应用 A. y＝ cos ｜2x｜ B. y＝｜ sin x｜ D D 母题探究：1.（变条件）若将例2（2）题中的“偶函数”改为“奇函数”， 其他条件不变，结果如何？ 总结：1.解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法 利用函数的周期性，可以把x＋nT（n∈Z）的函数值转化为x的函数值.利 用奇偶性，可以找到－x与x的函数值的关系，从而可解决求值问题. 1 参考答案 预习教材新知 一、周期函数 1. 非零 f（x＋T） 2. 正数 正数 基础试练 1. （1）√ （2） （3） 2. B 解析：图象关于y轴对称，则为偶函数，故选B. 课堂互动探究 3. π 解析：（图象法）∵函数y＝｜ sin x｜的图象如图所示. 由图象可知最小正周期T＝π. （2）函数的定义域为R，对任意x∈R，都有－x∈R. 因为f（x）＝ cos x－x sin x， 所以f（－x）＝ cos （－x）＋x sin （－x）＝ cos x－x sin x＝f（x）. 因此函数f（x）是偶函数. ... ...
