(课件网) 第五章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 预习教材新知 y＝ sin x y＝ cos x 单调 性 增区间 减区间 最值 ymax＝1 x＝ x＝ ymin＝－1 x＝ x＝ （k∈Z） [π＋2kπ，2π＋2kπ] （k∈Z） （k∈Z） [2kπ，π＋2kπ] （k∈Z） 2kπ，k∈Z π＋2kπ，k∈Z 记一记：正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数， 即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调. A A. [1，3] B. [－1，3] C. [－3，1] D. [－1，1] B 正弦函数、余弦函数的单调性 求单调区间 ∴y＝2 sin z单调递增时， 课堂互动探究 母题探究：1.（变条件）本例中，若x∈[0，2π]，试求函数的单调递增区间. 总结：用“基本函数法”求函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）或y ＝A cos （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的步骤 第一步：写出基本函数y＝ sin x（或y＝ cos x）的相应单调区间； 第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式（组） 表示）中的“x”； 第三步：解关于x的不等式（组）. 利用正（余）弦函数的单调性比较大小 【例2】比较下列各组中函数值的大小： （2） sin 194°与 cos 160°. 解：（2） sin 194°＝ sin （180°＋14°）＝－ sin 14°， cos 160°＝ cos （180°－20°）＝－ cos 20° ＝－ sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝ sin x在0°＜x＜90°时单调递增， ∴ sin 14°＜ sin 70°. 从而－ sin 14°＞－ sin 70°， 即 sin 194°＞ cos 160°. A. sin 3＜ sin 2 B. cos 3＞ cos 2 AC （k∈Z） 解析：∵y＝ cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈（－π，0]. （－π， 0] 总结：利用单调性比较大小的解题思路 （1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一 单调区间内的角，再利用函数的单调性比较. （2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数 值，后面步骤同（1）. 已知单调性求参数的值或取值范围 D 总结：已知函数y＝A sin （ωx＋φ）（Aω≠0）的单调区间求ω或φ，一般 将ωx＋φ代入y＝ sin x的相应的单调区间所对应的不等式组，求出x的范 围，对应已知的单调区间建立关于ω或φ的不等式（组）求解. 正弦函数、余弦函数的最值（值域）问题 （2）求函数y＝ cos 2x＋4 sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合. 7 总结：三角函数最值（值域）问题的三种常见类型及求解方法 （1）形如y＝a sin x（或y＝a cos x）型，可利用正弦函数、余弦函数的有 界性，注意对a正负的讨论. （2）形如y＝A sin （ωx＋φ）＋b（或y＝A cos （ωx＋φ）＋b）型，可 先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得 sin （ωx＋φ）（或 cos （ωx＋ φ））的范围，最后求得最值. （3）形如y＝A sin 2x＋B sin x＋C（A≠0）型，可利用换元思想，设t＝ sin x，转化为二次函数y＝At2＋Bt＋C求最值.t的范围需要根据定义域来 确定. 1. 知识链：（1）正弦、余弦函数的单调性与最值；（2）正弦、余弦函数单 调性的应用. 2. 方法链：整体代换、换元法. 3. 警示牌：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视 sin x， cos x本身具有的 范围. 参考答案 预习教材新知 正弦函数、余弦函数的单调性与最值 ∴－2 sin x＋1∈[－1，3]. 基础试练 题型一 正弦函数、余弦函数的单调性 角度1 求单调区间 课堂互动探究 角度2 利用正（余）弦函数的单调性比较大小 （2） sin 194°＝ sin （180°＋14°）＝－ sin 14 ... ...
