(
课件网) 三角形的内切圆 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 情境引入 三角形内切圆的相关概念 若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？ 观察与思考 最大的圆与三角形三边都相切 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心叫做三角形的内 心， 这个三角形叫做圆的外切三角形. B A C I ☉I 是 △ABC 的内切圆，点 I 是 △ABC 的内心，△ABC 是 ☉I 的外切三角形. 知识要点 观察与思考 问题1 如图，若⊙O 与∠ABC 的两边相切，那么圆心 O 的位置有什么特点？ 圆心 O 在∠ABC 的平分线上. N C O M A B 三角形内切圆的作法及内心的性质 C O A B 问题2 如图，如果⊙O 与△ABC 的三边都相切，那么圆心 O 应该在什么位置？ 圆心 O 在∠ABC 与∠ACB 这两个角的平分线的交点处. AO，BO ，CO 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB 的平分线 F E D 线段 OD，OE，OF 的长度相等，都是三角形内切圆的半径 作法： 1. 作∠ABC，∠ACB 的平分线 BE， CF，设它们交于点 O； 2. 过点 O 作 OD⊥BC 于点 D； 3. 以点 O 为圆心、OD 为半径作☉O. 则 ☉O 即为所作. 问题3 现在你知道如何画△ABC 的内切圆了吗？ C O A B F E D 三角形内心的性质： 三角形的内心在三角形的三条角平分线的交点处. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. 知识要点 C O A B E D F 例1 如图，△ABC 中，∠ABC = 43°，∠ACB = 61°，点 I 是 △ABC 的内心，求∠BIC 的度数. 解：连接 IB，IC. A B C I ∵点 I 是 △ABC 的内心， ∴ BI，CI 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线. 在△IBC 中， 典例精析 例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3 cm，求圆柱底面圆的半径. 该问题可以抽象为如下所示的几何图形. C A B r O D 解： 如图，设圆 O 切 AB 于点 D，连接 OA、OB、OD. ∵ 圆 O 是等边△ABC 的内切圆， ∴ AO、BO 是∠BAC、∠ABC 的平分线. ∴ ∠OAB =∠OBA = 30°. ∵ OD⊥AB，AB = 3 cm， ∴ AD = BD = AB = 1.5 (cm). ∴ OD = AD·tan30° = (cm). 答：圆柱底面圆的半径为 cm. 例3 △ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长. 想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ B A C E D F O 解: 设 AF = x cm，则 AE = x cm. ∴CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)， BF = BD = AB - AF = 13 - x(cm). 由 BD + CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14， ∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm. 方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解. 解得 x = 4. B A C E D F O 类比归纳 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边垂直平分线的交点 1.OA = OB = OC 2.不一定在三角形内部 三角形三条 角平分线的 交点 1.到三边距离相等 2. AO、BO、CO 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB 3.在三角形内部 A B O C A B C O C A B O D 1. 求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径. 解：如图，由题意可知 BC = 6 cm， ∠ABC = 60°，OD⊥BC，BO 平分∠ABC. ∴∠OBD = 30°，BD = 3 cm. 内切圆半径 外接圆半径 练一练 变式： 求边长为 a 的等边三角形的内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比. sin∠OBD = sin30°= C A B O D R r A B C O D E F A B C D E F O 2. 设△ABC 的面积为 S，周长为 L，△ABC 内切圆 的半径为 r，则 ... ...
