《创新课堂》培优课　一元二次不等式恒、能成立问题 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(课件网) 培优课 一元二次不等式恒、能成立问题 1.理解一元二次不等式恒、能成立问题的区别及不同的表述形式（直观想象、逻辑推理）. 2.会求一元二次不等式在R上（或在给定区间上）的恒成立问题（逻辑推理、数学运算）. 3.会求一元二次不等式中简单的能成立问题（直观想象、逻辑推理）. 重点解读 一、在R上恒成立问题 01 二、在给定范围上的恒成立问题 02 三、简单的能成立问题 03 目录 课时作业 04 一、在R上恒成立问题 01 PART 【例1】　已知不等式kx2＋2kx－（k＋2）＜0恒成立，求实数k的取值 范围. 解：当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意. 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－（k＋2），由y＜0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点. ∴ 解得－1＜k＜0. 综上，实数k的取值范围是{k｜－1＜k≤0}. 【规律方法】 　　一元二次不等式在R上的恒成立问题，转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即 ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立 ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立 ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立 ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立 　　提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，一定 要讨论二次项系数是否为0. 训练1　已知 x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围 为 . 解析：原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0，∵函数y＝x2＋ax＋3－a的图 象开口向上，∴Δ＝a2－4（3－a）＝a2＋4a－12≤0，即（a－2）（a＋ 6）≤0，∴－6≤a≤2，∴实数a的取值范围为{a｜－6≤a≤2}. {a｜－6≤a≤2} 二、在给定范围上的恒成立问题 02 PART 【例2】　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值 范围. 解：令y＝x2＋mx＋4， ∵y＜0在1≤x≤2上恒成立， ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 解得m＜－5， ∴实数m的取值范围是{m｜m＜－5}. 【规律方法】 在给定范围上恒成立问题的解题策略 （1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2 ＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0； （2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2 ＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 训练2　若对任意的－1≤x≤2，都有x2－2x＋a≤0（a为常数），则a的 取值范围是（　　） A. a≤－3 B. a≤0 C. a≥1 D. a≤1 解析：令y＝x2－2x＋a，则由题意，得 解得a≤－3.故选A. √ 03 PART 三、简单的能成立问题 【例3】　已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围 为（　　） A. {a｜－1≤a≤4} B. {a｜－1＜a＜4} C. {a｜a≥4或a≤－1} D. {a｜－4≤a≤1} 解析：由于－x2＋4x＝－（x－2）2＋4≤4，又因为－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，则实数a的取值范围为{a｜－1≤a≤4}. √ 【规律方法】 解决能成立问题的方法 （1）结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决； （2）对一些简单的问题，m＞y能成立可转化为m＞ymin，m＜y能成立 可转化为m＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范 围.当y取不到最小值或最大值时，注意参数取值范围的变动. 训练3　若关于x的方程x2＋kx－k＋3＝0有实数解，则实数k的取值范围 是 . 解析：由题设，Δ＝k2－4（3－k）＝k2＋4k－12＝（k＋6）（k－2） ≥0，所以k≤－6或k≥2. k≤－6或k≥2 课时作业 04 PART 1. 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是（　　） 解析：　一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数等价于二次 函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交 点，故需要 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 2. 关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则 ... ...