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课件网) 2.2 基本不等式 1. 知道基本不等式 ≤ （a＞0，b＞0）的几何背景，能结合具体实例解释基本不等式成立的条件（逻辑推理）. 2. 利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式（数学运算、逻辑推理）. 3. 会用基本不等式求解实际应用题（数学建模）. 课标要求 有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起探究一下吧！ 情景导入 第一课时 基本不等式 知识点一 基本不等式 01 知识点二 基本不等式的几何解释 02 提能点 利用配凑法求最值 04 目录 课时作业 05 知识点三 基本不等式与最值 03 知识点一 基本不等式 01 PART 问题1 （1）由教材中的“赵爽弦图”我们得到了一个什么样的不等式？ 提示：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a＝b时，取得等 号）. （2）如果a＞0，b＞0，我们用 ， 分别替换上式中的a，b，能得 到什么样的结论？ 提示：用 ， 分别替换上式中的a，b可得到a＋b≥2 ，即 ≤ ，当且仅当a＝b时，等号成立. （3）上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a＞ 0，b＞0都能成立？请给出证明. 提示：法一（作差法） － ＝ ＝ ＝ ≥0， 即 ≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立. 只需证－（ － ）2≤0， 显然（ － ）2≥0成立，故原不等式成立，当且仅当a＝b时，等号 成立. 法二（性质法） 要证 ≤ ， 只需证2 ≤a＋b， 只需证2 －a－b≤0， 【知识梳理】 1. 如果a＞0，b＞0，那么 ，当且仅当a＝b时，等号成 立. 2. 叫做正数a，b的 ， 叫做正数a，b的 . 3. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平 均数. 提醒：“当且仅当”的含义：①当a＝b时取等号，即a＝b ＝ ；②仅当a＝b时取等号，即 ＝ a＝b. ≤ 算术平均数 几何平 均数 不小于 【例1】 〔多选〕下列说法正确的是（ ） A. 对 a，b∈R， ≥ 成立 B. 若a＞0，b＞0且a≠b，则a＋b＞2 C. 对 a，b∈R，a2＋b2≥2ab D. 若x＞2，则x＋ ≥2中可以取等号 解析：A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立；D项，x＋ ≥2 ＝2取等号的条件为 无解，不等式中不可取等号. √ √ 【规律方法】 利用基本不等式判断命题真假的步骤 （1）检查是否满足应用基本不等式的条件； （2）应用基本不等式； （3）检验等号是否成立. 训练1 下列不等式的推导过程正确的是 .（填序号） ①因为a，b为正实数，所以 ＋ ≥2 ＝2； ②因为a∈R，a≠0，所以 ＋a≥2 ＝4； ③若x＜0，则x＋ ＝－ ≤－2· ＝－4. 解析：②中，因为a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，所以 ＋ a≥2 ＝4是错误的；①和③可由基本不等式推导得到，正确. ①③ 知识点二 基本不等式的几何解释 02 PART 问题2 如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b， 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD. （1）线段OD，CD的长度分别是多少？ 提示：OD＝ ， 因为△ADC∽△DBC，所以利用相似比可得CD＝ . （2）你能否利用语言文字描述以上结论？ 提示： 表示圆的半径的长. 表示圆内任意半弦长. （3）如何利用这个图形得到基本不等式的几何解释？ 提示：根据直角三角形三边关系可知，OD＞CD，当且仅当点O与点C重 合时，OD＝CD，所以 ≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立.即圆 内任意半弦长小于或等于圆的半径长. 知识点三 基本不等式与最值 03 PART 问题3 （1）试写出基本不等式的几种变形. ... ...
