(课件网) 5.2.2 同角三角函数的基本关系 1. 理解同角三角函数的基本关系式（逻辑推理）. 2. 会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简（数学运算）. 课标要求 情景导入 因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以 终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.我们不妨讨论同一个角 的三个三角函数值之间的关系.如图，设点P（x，y）是角α的终边与单位 圆的交点.你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？ 知识点一 同角三角函数的基本关系 01 知识点二 sin α± cos α与 sin α cos α关系的应用 02 知识点三 三角函数式的化简与证明 03 目录 课时作业 04 知识点一 同角三角函数的基本关系 01 PART 问题 设角α是一个任意象限角，点P（x，y）为角α终边上任意一点，它 与原点的距离为r（r＝ ），那么 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝ ，请根据三角函数的定义回答： （1）你能发现哪些三角函数有平方关系？哪些三角函数与其他三角函数 有商数关系？ 提示：平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ ＋ ＝1. 商数关系： ＝ ＝ ＝tan α. （2）两种同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？ 提示：平方关系适合任意角，根据三角函数的定义当α＝kπ＋ （k∈Z） 时，商数关系不适合. 【知识梳理】 同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方 关系 sin 2α＋ cos 2α ＝1 同一个角α的正弦、余弦的 等于1 商数 关系 ＝ α≠kπ＋ （k∈Z） 同一个角α的正弦、余弦的 等于角α 的 平方和 tan α 商 正切 角度1 直接利用基本关系式求值 【例1】 （1）（链接教材P183例6）若 sin α＝－ ，且α为第四象限角， 则tan α＝（ ） A. B. － C. D. － √ 解析： 因为 sin α＝－ ，由 sin 2α＋ cos 2α＝1，所以 cos 2α＝1－ sin 2α＝1－（－ ）2＝ ，又因α为第四象限角，所以 cos α＝ .由tan α＝ ＝ ＝－ .故选D. （2）若tan α＝－ ，求 sin α的值. 解：因为tan α＝－ ＜0，则α为第二象限角或第四象限角， 由 可得 sin 2α＝（ ）2， 当α是第二象限角时， sin α＝ ， 当α为第四象限角时， sin α＝－ . 【规律方法】 已知角的一个三角函数值求其他三角函数值的方法 （1）已知 sin θ（或 cos θ）求tan θ常用以下方法求解： （2）已知tan θ求 sin θ（或 cos θ）常用以下方法解： 训练1 已知 cos α＝－ ，求 sin α，tan α的值. 解：∵ cos α＝－ ＜0， ∴α是第二或第三象限角. 当α是第二象限角时， sin α＞0，tan α＜0， ∴ sin α＝ ＝ ＝ ， tan α＝ ＝－ ； 当α是第三象限角时， sin α＜0，tan α＞0， ∴ sin α＝－ ＝－ ＝－ ， tan α＝ ＝ . 角度2 利用弦切互化求值 【例2】 已知tan α＝－ ，求下列各式的值： （1） ； 解：原式＝ ＝ ＝－ . （2）2 sin 2α＋ sin α cos α－3 cos 2α. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝－ . 【规律方法】 已知角α的正切值求关于 sin α， cos α齐次式的值 （1）关于 sin α， cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin α， cos α的式子且每项次数相等，设为n次，将分子、分母同除以 cos α的n次幂， 其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值； （2）若无分母时，把分母看作1，并将1用 sin 2α＋ cos 2α来代换，将分 子、分母同除以 cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值. 训练2 已知tan α＝3，求下列各式的值： （1） ＋ ； 解： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－ . （2） . 解： ＝ ＝ ＝ . 知识点二 sin α± cos α与 sin α cos α关系的应用 02 PART 【例3】 设α∈（0，π）， sin α＋ cos α＝ ，求 cos 2α－ sin 2α的 ... ...
