(课件网) 第一课时 两角差的余弦公式 1. 了解两角差的余弦公式的推导过程（逻辑推理）. 2. 掌握两角差的余弦公式的应用（数学运算）. 课标要求 同学们，大家知道求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式. 情景导入 知识点一 两角差的余弦公式 01 知识点二 给值求值问题 02 提能点 给值求角问题 03 目录 课时作业 04 知识点一 两角差的余弦公式 01 PART 问题 （1）如图所示，求P，A1，P1的坐标. 提示：P（ cos （α－β）， sin （α－β）），A1（ cos β， sin β），P1 （ cos α， sin α）. （2）已知在平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如 何求线段P1P2的长度？ 提示：平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式P1P2＝ . （3）根据AP＝A1P1可以得到什么等式？ 提示：[ cos （α－β）－1]2＋ sin 2（α－β）＝（ cos α－ cos β）2＋（ sin α － sin β）2. 【知识梳理】 两角差的余弦公式 cos （α－β）＝ ，其中α，β为任意角，简记作 C（α－β）. 提醒：（1）该公式对任意角都能成立；（2）公式的结构：左端为两 角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和. cos α cos β＋ sin α sin β 【例1】 （1） cos 15°的值是（ ） A. B. C. D. 解析： cos 15°＝ cos （45°－30°）＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45° sin 30°＝ × ＋ × ＝ . √ ② cos 105°＋ sin 105°. 解：①原式＝ cos cos ＋ cos （ － ） sin ＝ cos cos ＋ sin sin ＝ cos （ － ）＝ cos ＝ . ②原式＝ cos 60° cos 105°＋ sin 60° sin 105° ＝ cos （60°－105°）＝ cos （－45°）＝ . （2）求下列各式的值： ① cos cos ＋ cos sin ； 【规律方法】 两角差的余弦公式常见题型及解法 （1）两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解； （2）含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两 角差的余弦公式求解； （3）求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然 后利用两角差的余弦公式求解. 训练1 （1） cos 105°＝ ； 解析：原式＝ cos （150°－45°）＝ cos 150° cos 45°＋ sin 150° sin 45°＝－ × ＋ × ＝ . （2）求值： cos 80°· cos 35°＋ cos 10°· cos 55°. 解：原式＝ cos 80°· cos 35°＋ sin 80°· sin 35°＝ cos （80°－35°）＝ cos 45°＝ . 知识点二 给值求值问题 02 PART 【例2】 （1）已知 sin α＝ ，α∈（ ，π），求 cos （ －α）的值； 解：因为 sin α＝ ，α∈（ ，π）， 所以 cos α＝－ ＝－ ＝－ ， 所以 cos （ －α）＝ cos cos α＋ sin sin α＝ ×（－ ）＋ × ＝ . （2）已知α，β为锐角，且 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，求 cos β的值. 解：因为0＜α，β＜ ，所以0＜α＋β＜π. 由 cos （α＋β）＝－ ，得 sin （α＋β）＝ ＝ ＝ . 又因为 cos α＝ ，所以 sin α＝ . 所以 cos β＝ cos ＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝ （－ ）× ＋ × ＝ . 【规律方法】 给值求值问题的解题策略 （1）从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些 角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要 灵活地进行拆角或凑角的变换； （2）常见角的变换：①α＝（α－β）＋β；②α＝ ＋ ；③2α＝（α ... ...
