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课件网) 培优课 对称问题 1.理解轴对称与中心对称的几何性质与代数性质（直观想象）. 2.灵活利用对称性求解反射问题与最值问题（数学运算）. 重点解读 中心对称问题 一 轴对称问题 二 对称问题的应用 三 课时作业 04 目录 一 PART 中心对称问题 【例1】（1）求点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点P'的坐标； 解：根据题意可知点A（a，b）为PP'的中点，设点P'的坐标为（x，y）， 则根据中点坐标公式，得 所以 所以点P'的坐标为（2a－x0，2b－y0）. （2）求直线3x－y－4＝0关于点（2，－1）的对称直线l的方程. 解：法一 设直线l上任意一点M的坐标为（x，y），则此点关于点 （2，－1）的对称点为M1（4－x，－2－y）， 且M1在直线3x－y－4＝0上， 所以3（4－x）－（－2－y）－4＝0，即3x－y－10＝0. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法二 在直线3x－y－4＝0上取两点A（0，－4），B（1，－1）， 则点A（0，－4）关于点（2，－1）的对称点为A1（4，2）， 点B（1，－1）关于点（2，－1）的对称点为B1（3，－1）. 可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0， 即所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 法三 由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行， 则可设l的方程为3x－y＋c＝0（c≠－4）. 在直线3x－y－4＝0上取一点（0，－4）， 则点（0，－4）关于点（2，－1）的对称点（4，2）在直线3x－y＋c ＝0上， 所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10. 所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0. 【规律方法】 1. 解决点关于点对称问题的方法 点P（x0，y0）关于点A（m，n）的对称点P'（x'，y'）可利用中点坐标 公式求得，由 得 2. 解决直线关于点对称问题的方法 方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的求法求出对称点，再 由对称点确定对称直线； 方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称 直线与原直线平行求直线方程； 特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B （－y）＋C＝0. 训练1 （1）（2025·济宁月考）若点P（3，4）是线段AB的中点，且点 A的坐标为（－1，2），则点B的坐标为 ； 解析：设点B（x，y），∵点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐 标为（－1，2），∴ 解得x＝7，y＝6，∴点B的坐标为（7， 6）. （7，6） （2）已知直线l1：2x＋y＋2＝0与l2：4x＋by＋c＝0关于点P（1，0）对 称，则b＋c＝ . 解析：在直线l1：2x＋y＋2＝0上取点M（－1，0），N（0，－2）， M，N关于点P（1，0）对称的点分别为M1（3，0），N1（2，2）.∵点 M1（3，0），N1（2，2）在直线l2：4x＋by＋c＝0上，∴12＋c＝0，8＋ 2b＋c＝0，解得c＝－12，b＝2，∴b＋c＝－10. －10 二 PART 轴对称问题 【例2】（2025·湛江月考）已知直线l：y＝3x＋3，求： （1）点P（4，5）关于直线l的对称点的坐标； 解：设点P关于直线l的对称点为P'（x'，y'），则线段PP'的中点在直线l 上，且直线PP'垂直于直线l， 即 解得 所以点P'的坐标为（－2，7）. （2）直线y＝x－2关于直线l的对称直线的方程. 解：解方程组 得 则点（－ ，－ ）在所求直线上. 在直线y＝x－2上取点M（2，0）， 设点M关于直线l的对称点为M'（x0，y0）， 则 解得 点M'（－ ， ）也在所求直线上. 由两点式得直线方程为 ＝ ， 化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程. 【规律方法】 1. 解决点关于直线对称问题的方法 已知P（x，y），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P' （x'，y'）可以分三步： 第一步，直线PP'和l垂直，故kPP'·kl＝－1（kl≠0）； 第二步，PP'的中点在直线l上，即（ ， ）满足直线方程Ax＋ By＋C＝0，得到A· ＋B· ＋C＝0； 第三步，联立两式可解出x'，y'. 2. ... ...
