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课件网) 第六章 平面向量及其应用 章末总结 巧梳理 知识框图 提能力 专题归纳 专题1 向量共线与三角形“四心” （【教材深挖】本专题可视作对教材第63页【数学探究】的深挖，用向量法研究三 角形的重心、垂心、内心、外心等性质） 1 向量共线背景下的面积探讨 例1 设是内任意一点，表示的面积，， ， ，定义.若是的重心， ，则 ( ) A A.点在内 B.点在内 C.点在内 D.点与点 重合 本题的难点在于其创新的设问方式，因此读懂题意是关键，相当多的考 生是因为读不懂题意而随意选了一个.如果只是一味地将目光锁定在 上，将会难以前进,甚至误入歧途.但若能注意到其几何背景，则不 难解决. 【解析】由于是的重心，从而 ，因此 ，不妨设 ，则 ,故排除D选项; 若点在内，则，与 不符，故排除C选项； 若点在内，则，与 不符，故排除B选项; 从而点在 内，如图6-1所示，故A选项正确. 图6-1 当然我们也可以找到其确切的位置，这是后话，暂且放下.接前面的话题，这个题是 如何命制出来的呢？先看下面的定理. 引理：在内任取一点，用,,分别表示，， 的面积， 则 . 定理：设是内一点，，， ，则 ,其中 . 进一步地，若设,, ，则得到下题： 例2 (2025·山东省济南市期中)设点在内部，且有 ，则 的面积与 的面积的比为( ) C A. B. C. D. 【解析】 由上述引理我们不难得到 . 学会思考 若将两边同乘以，则得 .不难 发现这里的,,正是例1中的 . 图6-2 （常规方法） 如图6-2，延长至，使,延长至 ，使 ，连接，，，,则 , . 由条件得，， 点是 的重心， 从而,其中表示 的面积, 则,, ，于是 . 故的面积与的面积的比为 . 从而我们看到例2的命题背景为上述引理，例1反其道而行之，在已知面积比的基础 上，探求点的位置.但是由于寻找点 的准确位置有一定难度，因此提供一个点：重 心.即将点与点 进行比照，这样只要学生能读懂题意，并能数形结合，就不难得 出答案了. 图6-3 下面再回过头去接着前面的话题，即点 的具体位置在哪？如图6- 3所示,过重心作交于点，交于点， 为中位 线，则与的交点便是点.事实上，由于 为中位线，所以 ,而 ，则 . 运用上述引理，我们可以快速解决如下试题. 例3 所在的平面内有一点,满足 ,那么三个三角形面积之 比 为( ) C A. B. C. D. 【解析】由上述引理我们不难得到， ，所以 ，所以 . 最后值得一提的是，由引理我们还可以得到有关 的如下结论： （1）重心满足 ; （2）外心满足 ; （3）内心满足 , 则 ; （4）垂心满足 . 其中，,,是的三个内角,, 所对边的长. 三角形的四心的向量表达式是用向量法解平面几何问题的重要理论基础. 2 有关 的其他重要结论 （1）重心 （其中为平面内任意一点, 为重心）. （2）垂心 向量所在的直线过的垂心（在边上的高 所 在的直线上）. 设是所在平面内的一点，则为 垂心的条件是 . （3）内心 向量所在直线过的内心（在 的平分线所在的直线 上）. 设是所在平面内的一点,则为 内心的条件是 ,,是的三个内角,,所对边的边长，为平面内任意一点 . （4）外心 设是所在平面内的一点，则为外心的条件是 （点 到三个顶点的距离相等），或 .#4.1 例4 设是平面内的一定点，是平面 内的一动点，若 ,则为 的( ) B A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【解析】由,知（其中为 的中点），所 以,所以在的垂直平分线上.同理，在的垂直平分线上，故 为 的外心. 例5 (2025·河北省沧州市五校月考)三个不共线的向量,, ，满足 ，则点为 的 ( ) A A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 【解析】由题意可知，与在的外角平分线上 垂直，所以 点在的平分线上.同理，点在的平分线上，点在 的平分线上， 故点为 的内心. 例6 点是所在平面内的一点，满足，则点 是 的( ) D A.重心 B.外心 ... ...
