人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时用空间向量研究夹角问题课件(共70张PPT)

(课件网) 第一章　空间向量与立体几何 1.4　空间向量的应用 1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题　 第2课时　用空间向量研究夹角问题 1. 会用向量法求线线、线面、面面夹角.（直观想象、数学运算） 2. 能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.（逻辑推 理、数学运算） 　　在必修教材中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的 角以及两个平面相交所成的二面角.那么，在空间中怎样描述这些角呢？这 些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？ 知识点一　利用向量方法求两条异面直线所成的角 思考：两条异面直线所成的角就是其方向向量所成的角吗？ 教材知识整理与归纳 B ｜ cos ＜u，n＞｜　 思考：设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v，平面的法向量为 n，则θ与＜v，n＞有什么关系？ D. 1 A 知识点三　利用向量方法求两个平面的夹角 （1）平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把 这四个二面角中 的二面角称为平面α与平面β的夹角. 不大于90°　 思考：两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？ 思考：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. D. 以上都不对 B 【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E为棱AB的中点，求异面直线 D1E，B1D所成角的余弦值. 　两条异面直线所成的角 课堂互动探究与提升 解：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，令 AB＝2， 归纳总结：求异面直线所成角的步骤 （1）确定两条异面直线的方向向量. （2）确定两个向量夹角的余弦值的绝对值. （3）得出两条异面直线所成的角. 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E，F，G分别是CC1， BD，A1B1的中点，求直线C1G与EF所成角的余弦值. 【例2】在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形， PA＝2，AB＝1，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 　直线与平面所成的角　 解：在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系， 则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2）， 设平面PBD的法向量为m＝（x，y，z）， 取x＝2，则m＝（2，2，1）， 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为2，D为BB1的中点， 求A1D与平面AA1C1C所成的角的正弦值. 由图可知，平面AA1C1C的一个法向量为n＝（1，0，0）. 设A1D与平面AA1C1C所成的角为θ， 【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q为B1C1的中点，求平面ABQ与 平面ACC1A1夹角的余弦值. 　两个平面的夹角　 解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立如 图所示的空间直角坐标系， 设DA＝1，取BB1的中点P，连接CP， A1（1，0，1）， ∵QB⊥CP，CP⊥AB，AB∩BQ＝B，QB，AB 平面ABQ，故CP⊥ 平面ABQ， 设平面ACC1A1的一个法向量为n＝（x，y，z）， ∴n＝（1，1，0）为平面ACC1A1的一个法向量. 设平面ABQ与平面ACC1A1的夹角为α， 归纳总结：求两平面夹角的两种方法 （1）定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直 线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向 向量的夹角，但要注意其异同. （1）求异面直线AC与A1B1夹角的余弦值； 解：（1）以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. （2）求平面AA1C1与平面A1C1B1夹角的正弦值. A. 1 B. －1 C. ±1 D. 0 C 当堂检测 A. 8π B. 6π C. 5π D. 16π A B 解析：底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝2，AB＝4， 如图，在底面ABCD中，过点D作DH⊥AB ... ...