1.2. 30°，45°，60°角的三角函数值 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级下册

1.2. 30°，45°，60°角的三角函数值课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级下册 一、选择题 1．的值为（ ） A． B． C． D． 2．在中，若，均为锐角，且，则的度数是（ ） A． B． C． D． 3．已知锐角满足，则锐角的度数是（ ） A． B． C． D． 4．如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（ ） A． B． C． D． 5．如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（ ） A． B． C． D． 6．如图，在等边三角形中，，垂足为点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 7．在中，，，D为边的中点，E为边上任意一点．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．如图，一块平行四边形玻璃，已知，，，则这块玻璃的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在锐角中，，，则 ． 10．在中，若，则的度数为 ． 11．如图，四边形ABCD中，，，对角线平分，且，则的度数为 ． 12．如图，在中，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值为 ． 三、解答题 13．（1）计算：； （2）计算：． 14．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 15．计算： (1) (2) (3) 16．已知中，与满足 (1)试判断．的形状； (2)求的值． 17．在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足． (1)如图1，如果四边形为矩形时，求证：． (2)如图2，如果四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由． (3)如图3，在四边形中，，，，点M、N分别在边、上，且，求的值 ． 18．如图，在正方形中，将边绕A点逆时针旋转30°，得到线段，连接，，，交于点F． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 参考答案 一、选择题 1．D 2．D 3．D 4．B 5．D 6．B 7．B 8．D 二、填空题 9． 10． 11． 12． 三、解答题 13．【详解】解：（1） ； （2） ． 14．【详解】（1）证明：垂直平分， ，， 四边形是平行四边形 ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形为菱形； （2）解：， ， ， 四边形为菱形， 为的中点， ∵为线段的中点， 是三角形的中位线． ， ， ，， ，， 如图，作，垂足为，则， ， 则． 15．【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16．【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2）由（1）可知:，， ∴原式． 17．【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， ， ， ， ， ， ， ， （2）解：仍然成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， （3）解：过点 C 作 于 点H ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴． 18．【解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴，， ∵将边AB绕A点逆时针旋转30°，得到线段AE， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ∴(SAS)， ∴， （2）解：过点F作于点G， 即， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴． （3）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ... ...