基本初等函数的导数 重点 1. 能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数。 2. 掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用。 难点 利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数与导数公式的简单应用。 考试要求 考试 题型 选择 填空 解答 难度 中等 核心知识点：基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f（x）＝c（c为常数） f′（x）＝0 f（x）＝xα（α∈Q*） f′（x）＝αxα－1 f（x）＝sin x f′（x）＝cos_x f（x）＝cos x f′（x）＝－sin_x f（x）＝ax f′（x）＝axln_a f（x）＝ex f′（x）＝ex f（x）＝logax f′（x）＝ f（x）＝ln x f′（x）＝ 注意：1. 常见函数的导数即导函数，用导数的定义求导函数的步骤： 第一步：求Δy＝f（x＋Δx）－f（x）； 第二步：求＝ ； 第三步：取极限f′（x）＝。 2. 由于知识所限，我们在高中阶段不要求用定义求所有基本函数的导数，只要求记住结论并会用基本函数的导数公式求导数即可，因此同学务必将上表记住。 类型一：用导数公式求函数的导数 例题1 求下列函数的导数。 （1）y＝x12；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝3x；（5）y＝log5x。 【思路分析】首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式。 【解析】（1）y′＝（x12）′＝12x11； （2）y′＝（）′＝（x－4）′＝－4x－5＝－； （3）y′＝（）′＝； （4）y′＝（3x）′＝3xln 3； （5）y′＝（log5x）′＝。 【总结提升】1. 分清所给函数是幂函数、指数函数还是对数函数，然后选择相应的模型，代入求解。 2. 要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别。 例题2 设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 013(x)等于( ) A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x 【思路分析】利用正弦函数y=sin x的导数是y′=cos x写出前几项，观察周期。 【答案】A 【解析】f0(x)＝sin x， f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x， f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x， f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x， f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x， 所以4为最小正周期，所以f2 020(x)＝f0(x)＝sin x. 【总结提升】如果所求的问题具有周期性,可通过观察先写出所求问题前几项,从写出的几项中找出周期,再把所求的问题转化到已知的前几项求解。 类型二：求函数在某点处的导数 例题3 质点的运动方程是S＝sin t， （1）求质点在t＝时的速度； （2）求质点运动的加速度。 【思路分析】（1）先求S′（t），再求S′（）。 （2）加速度是速度V（t）对t的导数，故先求V（t），再求导。 【解析】（1）V（t）＝S′（t）＝cos t，∴V（）＝cos ＝。 即质点在t＝时的速度为。 （2）∵V（t）＝cos t， ∴加速度a（t）＝V′（t）＝（cos t）′＝－sin t。 【总结提升】1. 速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。 2. 求函数在某定点（点在函数曲线上）的导数的方法步骤是：①先求函数的导函数；②把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值。 类型三：导数公式的应用 例题4 已知曲线y＝，求： （1）曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程； （2）求过点P（0,1）且与曲线相切的切线方程。 【思路分析】对于（1），由y＝对x求导，可得到曲线y＝的切线的斜率，进而可得相应切点的坐标，易求得切线方程；对于（2），设出切点坐标，利用切点在对应切线上，也在曲线上，进而求得切点坐标和相应切线的斜率。 【解析】（1）设切点为（x0，y0），由y＝，得y′|x＝x0＝。 ∵切线与y＝2x－4平行， ∴＝2， ∴x0＝，∴y0＝。 则所求切线方程为y－＝2（x－），即16x－8y＋1＝0。 （2）设切点P1（x1，）， 则切线斜率为y′|x＝x1＝ ... ...
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