第17章 17.4 一元二次方程的根与系数的关系（原卷+解析卷）2025-2026学年八年级下初中数学同步复习讲义（沪科版2024）

第17章 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 题型1 根与系数的关系 ▉题型1 根与系数的关系 【知识点的认识】 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 1．若关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个实数根互为相反数，则（　　） A．m＝0且n≥0 B．n＝0且m≥0 C．m＝0且n≤0 D．n＝0且m≤0 【答案】C 【解答】解：∵关于y的一元二次方程y2+my+n＝0的两个实数根互为相反数， ∴x1+x2＝﹣m＝0，解得m＝0； 又∵Δ＝m2﹣4n≥0， ∴n≤0， 故选：C． 2．m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的值是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2023x+2024＝0的两根， ∴m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，mn＝2024， ∴m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024， ∴（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024） ＝（m﹣2024+2024）（n﹣2024+2024） ＝mn ＝2024， 故选：C． 3．若一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2，则x1 x2的值等于（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3 【答案】C 【解答】解：∵一元二次方程2x2+3x﹣6＝0的两个根分别为x1，x2， ∴x1 x23． 故选：C． 4．已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2﹣n+2022的值是（　　） A．2022 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】C 【解答】解：∵m是方程x2+x﹣3＝0的实数根， ∴m2+m﹣3＝0， ∴m2＝﹣m+3， ∴m2﹣n+2022＝﹣m+3﹣n+2022＝﹣（m+n）+2025， ∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根， ∴m+n＝﹣1， ∴m2﹣n+2022＝﹣（﹣1）+2025＝2026． 故选：C． 5．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣3＝0的根，则x1 x2的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴x1 x2＝﹣3． 故选：B． 6．若x1，x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个根，则x1 x2的值是（　　） A．4 B．3 C．﹣4 D．﹣3 【答案】B 【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+3＝0的二次项系数a＝1，常数项c＝3， ∴x1 x23． 故选：B． 7．已知一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣1，则另一根是（　　） A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：设方程x2+kx﹣2＝0的另一根是x＝t， 则有：﹣1 t＝﹣2， ∴t＝2． 故选：A． 8．下列方程中两根之和为2的方程是（　　） A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x+2＝0 C．3x2﹣6x+1＝0 D． 【答案】C 【解答】解：在方程x2+2x+1＝0中，两根之和等于﹣2，故A不符合题意； 在方程x2﹣x+2＝0中，两根之和等于1，故B不符合题意； 在方程3x2﹣6x+1＝0中，两根之和等于2，故C符合题意； 在方程中，两根之和等于4，故D不符合题意， 故选：C． 9．设x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根，且2x1＝x2，则m＝　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+3x﹣m＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣3，x1 x2＝﹣m， ∵2x1＝x2， ∴x1+2x1＝﹣3，解得x1＝﹣1， ... ...