第01讲 二次根式的意义 内容导航———预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：二次根式的概念 像这样，表示算术平方根的代数式叫作二次根式。根据算术平方根的意义，二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零。 注意：(1)被开方数可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须使被开方数大于或等于零，否则就不是二次根式。 (2)二次根式与整式、分式一样，也是一类重要的代数式。从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”,如等都是二次根式。同时注意：识别二次根式时不能对原式进行化简，虽然，，但是是二次根式，3,0.1不是二次根式，此处容易出错。 (3)式子(a≥0)既表示二次根式，也表示非负数a的算术平方根。因此a≥0,≥0。二次根式具有双重非负性。当式子有意义时，a一定表示一个非负数，即≥0，a≥0. 知识点2：二次根式有意义的条件 二次根式 条件 字母表示 有意义 被开方数为非负数 有意义 a≥0 无意义 被开方数为负数 无意义 a<0 注意：(1)如果二次根式的被开方数是整式，那么只要满足被开方数是非负数即可。 (2)如果被开方数在分母的位置上，除满足被开方数大于或等于零的条件外，还需满足分母不为零的条件。根据上述条件可列出关于字母的不等式(组),根据不等式(组)的解集确定字母的取值范围。 知识点3：求二次根式的值 二次根式的求值实际上就是求代数式的值，即将字母的值代入二次根式中，一般先算根号内的式子，再求算术平方根。 【题型1 二次根式】 例1．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例2．若代数式有意义，则x的取值范围是 ． 变式1．下列各式一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 变式2．下列判断正确的是（ ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 变式3.若分式有意义，则的取值范围为 ． 【题型2 求二次根式的值】 例3．当时，二次根式的值是 ． 例4．已知，，且，则 变式1．当时，二次根式的值是 ． 变式2．当x的值为 时，的值最大，这个最大值为 ． 【题型3 二次根式的双重非负性】 例5．若 ，则的值为 ． 例6．若，为实数，，则的值为 ． 变式1．是实数，，则 ． 变式2. 若，则 ． 1．下列式子中，不属于二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．当时，二次根式的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（ ） A．136 B．131 C．100 D．94 6．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式为（ ） A． B． C． D． 7．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 8．当 时，二次根式的值为0． 9．已知是整数，则满足条件的最小正整数的值为 ． 10．若，则 ． 11．已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 12．当的值为 时，的值最小，这个最小值为 ． 13．（2025八年级上·北京·专题练习）当x取何值时，下列二次根式有意义？ (1) (2) (3) 14．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 15．（1）已知为实数，若满足，求的值． （2）若实数、满足等式，求的算术平方根． ... ...
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