2025-2026学年湖南省邵阳市邵东三中高二（上）期末数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列求导运算正确的是( ) A. B. C. D. 2.已知直线：，：，且，则( ) A. B. C. 或 D. 或 3.圆与圆的位置关系是( ) A. 外离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 4.如图，，分别是四面体的棱，的中点，点在上且满足，若，，，则与相等的向量是( ) A. B. C. D. 5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为( ) A. B. C. D. 6.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为( ) A. B. C. D. 7.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则( ) A. B. C. D. 8.函数的值域为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，则( ) A. 抛物线的准线方程为 B. 的坐标为 C. 若，则 D. 10.如图所示，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论中正确的是( ) A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 异面直线，所成的角为定值 11.设函数，，正项数列满足：，下列说法正确的是( ) A. 的最小值为 B. 不是单调函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为 ． 13.在平行六面体中，底面为菱形，且和相交于点，已知，，在平面内，，求二面角的余弦值的最大值 ． 14.高斯被誉为“数学王子”，用他名字定义的函数表示不超过的最大整数称为高斯函数已知在函数的图象上存在四个点，，，构成一个以原点为对称中心的平行四边形，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知数列中，，． 证明：是等差数列； 求数列的前项和． 16.本小题分 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，． 证明：平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 17.本小题分 春节是中国民间最隆重的最富有特色的传统节日之一，一般从腊八或者小年开始，到元宵节都叫过年在此，提前祝各位新年快乐为了庆祝年春节，火某镇的某商场销售经理进行调研，发现了销售某一种商品的经验，该商品每日的销售量千克与销售价格元千克满足关系式，其中，是常量已知销售价格为元千克时，每日可销售出该商品千克． 求实数的值； 若该商品的成本为元千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值． 18.本小题分 已知椭圆：上的点到其右焦点的最大距离为． 求椭圆的方程； 设椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点异于，． 若的面积为，求直线的方程； 若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 19.本小题分 已知函数． 若，求实数的值； 证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.证明：已知数列中，，， 则，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； 解：由可得，即， 则， 则数列的前项和： ． 16.解：证明：题意知，分别是，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面； 由平面，，可知，，两两垂直， 则可以点为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，得， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 17.解：该商品每日的销售量千克与销售价格元千克满足关系式： ，其中，是常量， 已知销售价格为元千克时，每日可销售出该商品千克， 则当时，， 所以， 解得； 由知该商品每日的销售量， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为： ，， 则， 令，得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在 ... ...
