2024级高二上学期期末考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部是（ ） A B. 2 C. D. 2. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 3. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则（ ） A. 40 B. 28 C. 35 D. 30 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 从平行六面体12条棱中随机选取两条，则选中的两条棱互相平行的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（ ） A B. C. 1 D. 8. 若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，用一个不垂直于轴的平面截两个顶点相同、顶角相等、轴相同的圆锥面，则所得截口曲线（截面与圆锥面的交线）可能是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，，则 B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C. 已知随机变量，则 D. 已知随机变量，则 11. 如图，在正三棱柱中，，点为正三棱柱表面上异于点的点，则（ ） A. 存在点，使得 B. 直线与平面所成的最大角为 C. 若不共面，则四面体的体积的最大值为 D. 若，则点的轨迹的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中，的系数是_____． 13. 已知二面角的大小为，棱上有两点，线段和分别在面和内，且，．若，，则的长为_____． 14. 如图，双曲线的左右焦点分别为，过的直线与该双曲线的两支分别交于两点（在线段上），与分别为与的内切圆，其半径分别为，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小1． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与点的轨迹相交于两点，且的面积为4，求直线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，点是棱上的一点，． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 球面三角学是研究球面三角形边角关系的一门学科．如图1，已知球的半径为点为球面上的三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形．若二面角，的大小分别为，则球面三角形的面积为． （1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积； （2）从图1中截切得到四面体，其中，延长交球面于点，连接，所得空间几何体如图2所示． （i）证明：； （ii）若球的半径为，点分别是的中点，直线，与平面所成角分别为，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 在阅读课上，有位同学围坐在有个桌位的圆桌前，每个桌位和桌中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每节课只能选一种书． （1）当时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前的书的概率； （2）规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第个桌位上的这种书编号记为．用表示“编号为的书未被选”，表示“编号为的书被 ... ...
