宁波市2025学年第一学期期末九校联考 高二数学试题 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 4. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定 5. 已知数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知二面角的棱上有两点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆左、右焦点为，点在上且位于第一象限，且，延长交轴于点，记的内切圆为，的内切圆为．若圆与外切，求椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列、、的通项公式为．若对任意的；、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 10. 设曲线，则（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到坐标原点的距离的最大值为2 C. 曲线上点的纵坐标的取值范围是 D. 曲线的内部有9个整点（横纵坐标均为整数） 11. 在直三棱柱中，，是底边上一点，且，则（ ） A. 直三棱柱外接球的表面积为 B. 当时，平面平面 C. 直线与所成角的余弦的最大值为 D. 点是的中点，点是线段上的一个动点，则的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等比数列的前项和，若，则公比_____． 13. 已知抛物线，直线过点，且与交于两点，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为_____． 14. 已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数取值范围为_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数的极值． 16. 已知数列前项和为，若数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. 如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，． （1）证明：； （2）当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆过点，且离心率为. （1）求椭圆标准方程； （2）为椭圆上顶点，过点作直线交椭圆于两点，在第一象限，直线的斜率为，直线的斜率为. （i）证明为定值； （ii）过作垂直于轴的直线与交于点，为的中点，延长交直线于点，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）若在上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，有两个不同的零点和一个极值点．记． （i）证明：； （ii）判断是否可能为等腰三角形，并说明理由． ... ...
