第2讲 导数初步 微点一 导数的几何意义 例1 (1)(2025·全国Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，则a= . 答案 4 解析 y=ex+x+a的导数为y'=ex+1， 因为直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，直线的斜率为2， 令y'=ex+1=2，即ex=1，解得x=0， 将x=0代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5， 所以切点坐标为(0，5)， 因为切点(0，5)在曲线y=ex+x+a上， 所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4. (2)若曲线y=ex-a(a>0)在x=0处的切线也是曲线y=ln(x+b)(b>0)的切线，则a+b= . 答案 2 解析 对于y=ex-a(a>0)，有y'=ex，则y'|x=0=1，则曲线y=ex-a(a>0)在x=0处切线为y-(1-a)=x，即y=x+1-a， 对于y=ln(x+b)(b>0)，有y'=又y=x+1-a也是y=ln(x+b)(b>0)的切线， 令=1，可得x=1-b，则y=0，即切点(1-b，0)在直线y=x+1-a上， 所以1-b+1-a=0 a+b=2. [规律方法] 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. 跟踪演练1 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a= . 答案 ln 2 解析 由y=ex+x得y'=ex+1， 当x=0时，y'=e0+1=2， 故曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线方程为 y=2x+1. 由y=ln(x+1)+a得y'= 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，y0)， 由两曲线有公切线得y'==2， 解得x0=-代入切线方程y=2x+1得y0=2×+1=0， 则y0=ln(x0+1)+a=0， 即ln+a=0，解得a=ln 2. (2)(2025·南昌模拟)过点(1，0)可以作三条直线与曲线f(x)=xex-t相切，则实数t的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 因为f(x)=xex-t， 所以f'(x)=ex(x+1)， 设过点(1，0)的切线与曲线f(x)=xex-t相交于点(m，mem-t)， 则切线方程为y-(mem-t)=em(m+1)(x-m)，又切线过点(1，0)， 所以0-(mem-t)=em(m+1)(1-m)， 根据题意可得，上式关于m的方程有3个解， 即方程t=-em(m2-m-1)有3个解， 所以直线y=t与y=-em(m2-m-1)的图象有3个交点， 设g(m)=-em(m2-m-1)，则g'(m)=-em(m+2)(m-1)， 所以当m∈(-∞，-2)时，g'(m)<0，g(m)单调递减； 当m∈(-2，1)时，g'(m)>0，g(m)单调递增； 当m∈(1，+∞)时，g'(m)<0，g(m)单调递减， 所以g(m)的极小值为g(-2)=-极大值为g(1)=e， 且当m<-2时，g(m)<0；当m→+∞时，g(m)→-∞， 所以要使直线y=t与y=-em(m2-m-1)的图象有3个交点，则-0)所示. (1)当定点P在对称中心N或在Ⅰ和Ⅲ区域时，过点P的切线有且仅有一条； (2)当定点P在曲线上或在切线l上且不在对称中心N时，过点P的切线有两条； (3)当定点P在Ⅱ和Ⅳ区域时，过点P的切线有三条. 4.三次函数切割线定理 如图3，设P为三次函数y=f(x)图象上任意一点(非对称中心)，过点P作y=f(x)图象的一条切线PT和一条割线PB，其中T(不与P重合)为切点，A，B为交点，则点T的横坐标是A，B两点的横坐标的算术平均数，即xT=. 推论1：如图4，设P为三次函数y=f(x)图象上任意一点(非对称中心)，过点P作y=f(x)图象的两条切线PM和PN，其中M，P为两条切线的切点，N为交点. 则点M的横坐标是N，P两点的横坐标的算术平均数，即xM=. 推论2：如图5，设三次函数f(x)的极大值为m，方程f(x)=m的两根分别为x1，x2(x1
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