第3讲 函数构造与同构思想 微点一 抽象函数的导数构造 例1 (1)已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)，f(-1)=-1，其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0，则不等式f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为( ) A.(-2 026，0) B.(-2 026，-2 025) C.(-∞，-2 026) D.(-∞，-2 025) (2)若函数f(x)的定义域为R，满足f(0)=2， x∈R，都有f(x)+f'(x)>1，则关于x的不等式f(x)>e-x+1的解集为( ) A.{x|x>1} B.{x|x>e} C.{x|x<0} D.{x|x>0} [规律方法] (1)①导数和差，构造和差型函数 f'(x)+c=[f(x)+cx]'；f'(x)+g'(x)=[f(x)+g(x)]'；f'(x)-g'(x)=[f(x)-g(x)]'； ②和与积联系，构造乘积型函数 f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=[f(x)g(x)]'； ③差与商联系，构造分式型函数 ='. (2)幂函数及其抽象构造 ①出现nf(x)+xf'(x)的形式，构造函数F(x)=xnf(x)； ②出现xf'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)=. (3)指数函数及其抽象构造 ①出现f'(x)+nf(x)的形式，构造函数F(x)=enxf(x)； ②出现f'(x)-nf(x)的形式，构造函数F(x)=. ③出现f'(x)+f(x)>a的形式，构造函数F(x)=ex[f(x)-a]； ④出现f'(x)-f(x)>a的形式，构造函数F(x)=. (4)三角函数及其抽象构造 函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式 ①F(x)=f(x)sin x， F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x； ②F(x)= F'(x)=； ③F(x)=f(x)cos x， F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x； ④F(x)= F'(x)=. 跟踪演练1 (1)已知定义在R上的连续可导函数f(x)及其导函数f'(x)满足f(x)
0时，f(x)>0，则下列式子不一定成立的是( ) A.f(8)>2f(4) B.f(4)>2f(2) C.f(2)>2f(1) D.f(1)>2f (2)已知函数f(x)的定义域为(0，π)，其导函数是f'(x).若对任意的x∈(0，π)，有f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)>2f sin x的解集为( ) A. B. C. D. 微点二 x与ex、ln x的组合函数及同构思想 例2 (1)(2025·怀化模拟)设a=lnb=c=ln则( ) A.a>c>b B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c (2)(2025·玉树模拟)设实数λ>0，若对任意x∈(1，+∞)，不等式eλx-(λ+1)x+ln x≥0恒成立，则λ的取值范围是( ) A.(0，e] B.[e，+∞) C. D. [规律方法] (1)构造函数比较大小的常见类型 ①构造相同的函数，利用单调性，比较函数值的大小； ②构造不同的函数，通过比较两个函数的函数值进行比较大小. (2)指对同构的常用形式 ①积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式： (ⅰ)同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)=xex； (ⅱ)同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)=xln x； (ⅲ)取对构造形式：a+ln a≤ln b+ln(b>1)，构造函数f(x)=x+ln x. ②商型：≤一般有三种同构方式： (ⅰ)同左构造形式：≤构造函数f(x)=； (ⅱ)同右构造形式：≤构造函数f(x)=； (ⅲ)取对构造形式：a-ln a≤ln b-ln(b>1)，构造函数f(x)=x-ln x. ③和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式： (ⅰ)同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)=ex±x； (ⅱ)同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)=x±ln x. 跟踪演练2 (1)已知a=b=lnc=则( ) A.c