江苏省南京市高淳区2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案）

2025—2026学年第一学期期末学情调研 高二数学试卷 本卷分值：共150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 以下求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：，：，若，则（ ） A. -1 B.3 C.或.或3 4. 已知数列是各项均为正数的等比数列，，则公比（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 5. 过椭圆的一个焦点作长轴的垂线与椭圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D.3 6. 已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 7. 已知直线与抛物线相切于点，则到的焦点距离为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8. 等差数列，的前项和分别记为，，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选得0分. 9. 已知双曲线的标准方程为，则（ ） A. 其实轴长为2 B. 其离心率为 C. 其渐近线方程为 D. 其焦点到渐近线的距离为 10. 已知数列的前项和为，且，则以下结论错误的有（ ） A. ，，成等比数列 B. ，，成等差数列 C. ，，成等比数列 D. ，，成等差数列 11. 已知函数有两个极值点，，则（ ） A. B. 当时，有三个零点 C. 当时，仅有一个零点 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆的公共弦所在直线方程是____. 13. 曲线在处的切线方程是____. 14. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，下顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的离心率是____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知三点，，都在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线截圆所得的弦长为，求直线的方程. 17. 已知函数。 （1）若时，曲线与轴相切，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围. 18. 已知数列中，，。 （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的前项和； （3）设，且，，求的最大值. 19. 在平面直角坐标系中，已知双曲线：右顶点与抛物线的焦点重合，且点在双曲线上。 （1）求的标准方程； （2）设直线与双曲线的右支相交于，两点，点为的中点。 ①设的斜率为，求的值； ②若的面积为，射线交于点，设，求的值. 参考答案 1．C 2．A 3．D 4．A 5．D 6．B 7．B 8．D 9．AD 10．ACD 11.BCD 12. 13. 14. 15.(1) （2） （1）设等差数列的公差为， 由，得， 由，得 联立，解得， 所以. （2）因为， 所以 . 16.（1） （2） 或 （1）方法1：根据，，三点坐标可知，为直角三角形， 所以圆是的外接圆， 所以圆心是斜边的中点， 半径为， 所以圆的标准方程为. 方法2：设圆的一般方程为， ，，在圆上， 则，解得， 所以圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为 （2）根据垂径定理得，圆心到直线的距离为， 当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，不为，不符合题意； 当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为， 所以由点到直线的距离公式得 即，解得或， 所以直线的方程为或。 17.（1）由题意得， 因为曲线与轴相切，所以设切点为， 则，解得， 又因为，所以，解得。 （2）由题意得的定义域为，， 当时，恒成立，在上为增函数， 当时，若，，在上为减函数， 若，，在上为增函数； 综上，当时，在上为增函数； 当时，在上为减函数，在上为增函数 （3）方法一：由题意得当时，恒成立， 等价于恒成立，得到， 令，则，解得， 当时，，在上为增函数， 当时， ... ...