2025-2026学年度高二第一学期期末学业水平质量监测 数学试题 一、单项选择题（共8小题 满分40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则，（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知两直线，平行，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题 满分18分） 9. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 当时，的最大值为13 D. 数列前项和为，最大 10. 设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，，则（ ） A. B. 直线的斜率是 C. D. 的面积是 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 共有3个零点 B. 既存在极大值，也存在极小值 C. 若时，，则的最大值为2 D. 若函数有2个零点，则 三、填空题（共3小题 满分15分） 12. 已知复数，则. 13. 已知直线与双曲线交于、两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是____ 14. 若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为____． 四、解答题（共5大题 满分77分） 15. 已知，，分别为的内角，，的对边，且． （1）求； （2）若的面积为，边上的高为3，求． 16. 已知圆的圆心在直线上且与轴相切于点． （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 17. 已知数列中. （1）证明：数列是等比数列； （2）若数列的通项公式为，求数列的前项和； 18. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程； （2）过的右焦点的直线交于，两点，线段的垂直平分线交于，两点. ①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值； ②若直线的斜率存在且不为，设线段的中点为，记，的面积分别为，. 当时，求的最小值. 19. 已知函数. （1）若，讨论的单调性； （2）若有两个极值点，求实数的取值范围； （3）当时，设函数，为的导函数.证明：对任意的，有. 参考答案 1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．C 7.D 8.D 9.ABD 10．BCD 11.BCD 12. 13. 14. 15.（1） （2） （1）根据条件， 由正弦定理，得， 即，即， 因为在中，，所以， 又因为，所以 （2）因为的面积为，所以，得 由，即，所以． 由余弦定理，得，即， 化简得，所以，即， 所以． 16.（1） （2） 或 （1）因为圆与轴相切于点，所以圆心的横坐标为， 又因为圆的圆心在直线上，则圆心的纵坐标为，即， 则圆的半径， 所以圆的方程为． （2）设圆心到直线的距离为，则， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 即． 则，解得或， 所以直线的方程为或． 综上所述，直线的方程为或． 17．（1）证明见解析 （2） （1）由，得，即， 又，有， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）得，则有， ①， ②， ， ，即. 18.（1） （2）① 证明见解答，定值；② （1）根据题意，得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）（i）证明：设四边形的面积为， 由（1）得，椭圆的焦点， 因为直线的垂直平分线段，所以， 当直线与轴重合时，此时，， 。 由圆的性质知直线过坐标原点，由椭圆的对称性知。 当直线与轴不重合时，设直线方程为。 ，， 。 ，则直线的方程为，联立椭圆方程， 得，解得。 。 。 。 综上所述，四边形的面积为定值。 ... ...
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