安徽安庆市第一中学等校2025-2026学年高二上学期2月期末联考 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数列，，，，的一个通项公式为( ) A. B. C. D. 2.抛物线的准线方程为( ) A. B. C. D. 3.过点且与直线垂直的直线的方程是( ) A. B. C. D. 4.已知椭圆：，下列与椭圆焦点相同的双曲线方程为( ) A. B. C. D. 5.已知为等比数列的前项和，若，则( ) A. B. C. D. 6.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是( ) A. 抛物线 B. 双曲线的一支 C. 椭圆 D. 圆 7.已知做一个木梯需要根横梁，这根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是( ) A. B. C. D. 8.如图，在平行六面体中，，，，则直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.直线与圆相切，则实数等于( ) A. B. C. D. 10.若数列的通项公式是，则( ) A. 是数列中的项 B. 数列是递增数列 C. 数列的前项和有最大值 D. 数列的前项和无最小值 11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的右支上一点，过点作的切线与的两条渐近线分别交于，两点，则下列说法正确的是( ) A. 的最小值为 B. 存在点，使得 C. 点，的纵坐标之积为定值 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则 ． 13.已知抛物线与直线，点为抛物线上一动点，则当点到直线的距离最小时，点的坐标为 ． 14.若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知直线和． 求证：直线过定点，且此定点在内； 若直线与相交于，两点，且，求直线的方程． 16.本小题分 已知数列满足：． 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和． 17.本小题分 如图，平面平面，四边形是正方形，． 求证：； 求平面与平面夹角的余弦值． 18.本小题分 已知椭圆的离心率为，且过点，直线与交于，两点． 求的方程； 若线段的中点为，求直线的方程； 若直线的斜率不为且经过的左焦点，点是轴上的一点，且，，求直线的斜率． 19.本小题分 已知数列满足． 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和； 若，数列的前项和为，证明：． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.或 15.解：直线的方程可变形为， 令，则，所以直线过定点， 因为，所以点在内部； 的方程可化为，所以的圆心为，半径 因为，所以圆心到直线的距离， 即，解得，所以直线的方程为． 16.解：因为， 当时，，所以， 当时，， ， 得，，所以， 也满足． 综上，． 由题可知， 所以 ． 17.解：证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以因为四边形是正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以； 由知平面， 又平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 所以两两垂直． 以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则 令，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为． 18.解：由题意知 解得，，， 所以的方程为． 设，， 又线段的中点为，所以，即 又，是上的点，所以 所以，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即． 由题意左焦点，直线的斜率不为，设直线， 由得，所以， ，，． 设的中点为，则， 点在轴上，且，，则垂直平分，且， 所以的中 ... ...
