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课件网) [学习目标] 1.会解决与均值、方差有关的求参问题及最值问题. 2.会利用均值、方差解决实际问题中的决策问题. 一、利用均值与方差求参数 [例1] 已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a b c [反思归纳] 利用分布列的性质、均值公式及方差公式建立方程或方程组解决有关参数问题，在具体问题中密切关注参数的范围及实际意义. 1.(多选)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P m 0.2 0.3 若随机变量Y＝aX＋b(a＞0，b∈R)，E(Y)＝10，D(Y)＝19，则下列选项正确的为( ) A.m＝0.5 B.a＝6 C.b＝11 D.P(Y＝16)＝0.3 ACD 解析 依题意，由分布列可得m＋0.2＋0.3＝1，解得m＝0.5，A正确；E(X)＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2，D(X)＝[－1－(－0.2)]2×0.5＋[0－(－0.2)]2×0.2＋[1－(－0.2)]2×0.3＝0.76，因为Y＝aX＋b(a＞0，b∈R)，所以E(Y)＝aE(X)＋b＝－0.2a＋b＝10，D(Y)＝a2D(X)＝0.76a2＝19，解得a＝5，b＝11，B错误、C正确；所以随机变量Y的分布列为 Y 6 11 16 P 0.5 0.2 0.3 由分布列可知D正确.故选ACD. 二、与均值和方差有关的最值问题 [反思归纳] 处理均值与方差的最值问题，主要是利用分布列的性质、均值公式及方差公式建立函数模型，利用函数的单调性或基本不等式解决最值. 2.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0＜p＜1)，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D(X)的最大值为_____，此时p＝_____. 三、利用均值与方差决策问题 (2)若将100万元全部投到其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. [反思归纳] 均值、方差在决策中的作用 1.均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高. 2.方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散程度，方差越大越不稳定. 3.在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断. 3.某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案： 方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元、20万元、40万元，且P(X＝20)＝0.3，期望E(X)＝30； 方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元、20万元、30万元，其概率依次为0.3，0.4，0.3. (1)请写出方案一的分布列，并求方差D(X)； 解 设P(X＝0)＝a，P(X＝40)＝b， 依题意得a＋b＋0.3＝1 ①， 又E(X)＝0×a＋20×0.3＋40b＝30 ②， 由①②解得a＝0.1，b＝0.6， ∴X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则D(X)＝(0－30)2×0.1＋(20－30)2×0.3＋(40－30)2×0.6＝180. (2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由. 解 由题得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则E(Y)＝10×0.3＋20×0.4＋30×0.3＝20， D(Y)＝(10－20)2×0.3＋(20－20)2×0.4＋(30－20)2×0.3＝60. 由E(X)＞E(Y)可知采用平台广告投放期望收益较大，又D(X)＞D(Y)，说明平台广告投放的风险较高. 综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [基础巩固] 1.已知离散型随机变量X的分布列如表所示： D X a a＋1 a＋2 P 0.4 0.2 0.4 则D(X)＝( ) A.0.4＋a B.0.8＋a C.0.4 D.0.8 解析 由分布列可得E(X)＝0.4a＋0.2(a＋1)＋0.4(a＋2)＝a＋1，D(X)＝0.4(a－a－1)2＋0.2(a＋1－a－1)2＋0.4(a＋2－a－1)2＝0.8.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.已知随机变量ξ的分布列为 D 若E(ξ)＝2(m≠n)，则D(ξ)的最小值等于( ) A.0 B.2 C.4 D.无法计算 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.在概率 ... ...
