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课件网) [学习目标] 会解决与马尔科夫链相关的实际问题. 一、连续两项递推特征 [例1] (2023·新课标Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率； 解 记“第i次投篮的人是甲”为事件Ai，“第i次投篮的人是乙”为事件Bi，所以P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6. (2)求第i次投篮的人是甲的概率； [反思归纳] 1.马尔科夫链：P(Xn+1＝j|Xn＝i，Xn-1＝in-1，…，X0＝i0)＝P(Xn+1＝j|Xn＝i)＝Pij，即未来状态Xn+1只受当前状态Xn的影响，与之前的Xn-1，Xn-2，…，X0无关. 2.马尔科夫链问题本质如下 (1)下一个状态只与当前状态有关，与更前面的状态无关. (2)找到初始状态和递推关系即可. 3.连续两项的递推特征(当前状态只与上个状态有关) 递推公式：Pi＝aPi-1＋b(1－Pi-1)； 递推公式：①Pi＝aPi-1＋bQi-1； ②Qi＝(1－a)Pi-1＋cQi-1＋d(1－Pi-1－Qi-1). (注：图中a，b，c，d表示从上个状态转移到下个状态的概率) 1.有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球、1个黑球，其余盒子中均为1个白球、1个黑球.现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是_____，从第n个盒子中取到白球的概率是_____. (1)求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率； (2)经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，第一次由甲掷.当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分.甲、乙分别在5～25分之间选一个整数分数(含5分和25分)，且两人所选的分数不同，当两人累计积分之和首先等于其中一人所选分数时，此人赢得游戏.记两人累计积分之和为n的概率为P(n). ①证明：{P(n＋1)－P(n)}为等比数列； ②甲选哪个分数对自己最有利？请说明理由. [反思归纳] 连续三项的递推特征(当前状态只与上两个状态有关) 递推公式：Pi+1＝aPi＋(1－a)Pi-1. (注：图中a表示从上个状态转移到下个状态的概率) (1)当进行完3轮答题后，甲同学总分为Y，求Y的分布列及E(Y)； Y 3 4 5 6 P (2)若累计得分为m的概率为Pm(初始得分为0分，P0＝1). ①求Pm－Pm－1的表达式(0＜m≤19，m∈N*)； ②求获得亚军的概率. 1 2 3 4 1.甲进行摸球跳格游戏.图上标有第1格，第2格，……，第25格，棋子开始在第1格.盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球(5个球除颜色外其他都相同).每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳 2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束.记棋子跳到第n格的概率为Pn(n＝1，2，3，…，25). (1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和数学期望； 1 2 3 4 1 2 3 4 (2)证明：数列{Pn－Pn－1}(n＝2，3，…，24)为等比数列. 1 2 3 4 2.甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中. (1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率； 1 2 3 4 1 2 3 4 (2)投掷n(n∈N*)次骰子后，记球在 ... ...
