2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册课时达标4.1数列的概念　第2课时　数列的递推公式（含解析）

4.1数列的概念 第2课时　数列的递推公式 一．选择题 1.(探究点一)已知数列{an}满足a1=2,an=2-(n≥2),则a4=(　　) A. B. C. D. 2.(探究点三)已知数列{an}的前n项和Sn=,则a6的值等于(　　) A. B.- C. D.- 3.(探究点三)已知数列{an}的前n项和Sn=4n2-10n,则a2a6=(　　) A.52 B.68 C.96 D.108 4.(探究点一)在数列{an}中,a1=,an=1-(n≥2,n∈N*),则a2 025=(　　) A. B.1 C.-1 D.2 5.(探究点二)已知数列{an}的项满足an+1=an,而a1=1,则an=(　　) A. B. C. D. 6.(探究点三)(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-10n,则下列结论正确的有(　　) A.{an}是递减数列 B.a6>0 C.S11>0 D.当Sn取最小值时,n=5 7.已知数列{an}满足a1++…+=1-,则an=(　　) A.1- B. C. D. 8.(多选题)(2025湖南长沙高二检测)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,它的研究对象普遍存在于自然界中,因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律,可得如图2所示的一个树状图.若记图2中第n行黑圈的个数为an,白圈的个数为bn,则下列结论正确的是(　　) 图1 图2 A.a4=8 B.b5=13 C.bn+1=2an-bn D.an+1=2an+bn 二．填空题 9.(探究点一)若数列{an}满足an+1=2an-1,且a8=16,则a6=　　　　　. 10. (探究点二)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,….球数构成一个数列{an},满足an=an-1+n,n>1且n∈N*.则该数列{an}的通项公式为　　　　　. 11.在数列{an}中,a1=1,an-an-1=n(n∈N*,n≥2),则的最小值是　　　　　. 12.(2025江苏南通模拟)如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,图中虚线上的数1,3,6,10,…构成数列{an},记an为该数列的第n项,则a63=　　　　　. 三．解答题 13.(探究点三·人教B版教材习题)已知在数列{an}中,前n项和Sn=,求{an}的通项公式. 14.(探究点二)已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+(n≥2),求an. 15.(探究点四)如图,直线l1:y=-与l2:y=相交于点M.直线l1与x轴交于点M1,过点M1作x轴的垂线交直线l2于点N1,过点N1作y轴的垂线交直线l1于点M2,过点M2作x轴的垂线交直线l2于点N2,……这样一直作下去,可得到一系列点M1,N1,M2,N2,M3,……点Mn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{xn}.求x1,x2,x3的值,并求xn+1与xn的关系式. 16.已知在数列{an}中,a1=1,以后各项满足an=an-1+(n≥2). (1)写出数列{an}的前5项; (2)求数列{an}的通项公式. 参考答案 1.D　∵数列{an}满足a1=2,an=2-(n≥2), ∴a2=2-,a3=2-,a4=2-.故选D. 2.D　a6=S6-S5==-.故选D. 3.B　由题意,可得当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68. 4.D　a1=,a2=1-=1-2=-1,a3=1-=1+1=2,a4=1-=1-, 可得数列{an}是以3为周期的周期数列,∴a2 025=a3×675=a3=2. 故选D. 5.B　由an+1=an,得,所以当n≥2时,,…,, 所以·…·×…×, 所以, 因为a1=1,所以an=,n≥2. 因为a1=1满足上式,所以an=.故选B. 6.BCD　∵数列{an}的前n项和为Sn=n2-10n,∴a1=S1=-9, 当n≥2时,an=Sn-=(n2-10n)-[(n-1)2-10(n-1)]=2n-11,n=1时也满足,是递增数列,故A错误; 再根据a6=2×6-11=1,故B正确; 再根据S11=112-10×11=11,故C正确; 再根据数列{an}的前n项和为Sn=n2-10n=(n-5)2-25,故当n=5时,Sn取得最小值,故D正确.故选BCD. 7.D　a1++…+=1-,① 当n≥2时,a1++…+=1-,② 则①-②得,, 故an=(n≥2). 当n=1时,a1=,也符合上式,故an=.故选D. 8.ABD　已知an表示第n行黑圈的个数,bn表示第n行白圈的个数,则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈,一个黑圈产生下一行的1个白圈2个黑圈,所以an+1=2an+bn,bn+1=an+bn,故C错误,D正确; 又a1=0,b1=1,所以a2=1,b2=1,a3=2×1+1=3,b3=1+1=2,a4=2×3+2=8, ... ...