3.3　第1课时　二项式定理（教师版）

3．2　数学探究活动：生日悖论的解释与模拟(略) 3．3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 1.能用计数原理证明二项式定理．　2.掌握二项式定理及二项展开式的通项．　3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 观察以下各式： (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， … 思考1　展开式的项数与二项式的次数有关系吗？ 提示：展开式的项数比二项式的次数多1. 思考2　展开式中各项的次数与二项式的次数有关系吗？ 提示：展开式中各项的次数与二项式的次数相等. 思考3　对于(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2，如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 提示：(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0，1，2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即a2－kbk的系数是C. 二项式定理 (a＋b)n＝_____(n∈N＋) 二项展开式 等式右边的多项式，展开式中共有_____项 二项式系数 各项的系数_____(k＝0，1，2，…，n) 通项公式 Tk＋1＝_____ [答案自填] Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn　n＋1　C　Can－kbk 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×” (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．(　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．(－)5的展开式为_____． 解析：展开式的通项为 C()5－r＝(－1)rCx，所以展开式为x－5x＋10x－10x－＋5x－－x－. 答案：x－5x＋10x－10x－＋5x－－x－ 3．化简：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝_____． 解析：因为1＝C＝C，4＝C＝C，6＝C，所以原式＝C(x－1)4·10＋C(x－1)3·11＋C(x－1)2·12＋C(x－1)·13＋C·14＝[(x－1)＋1]4＝x4. 答案：x4 eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET ) 二项式定理的正用与逆用 (1)正用：(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.　 (2)逆用：逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例2)在(－)7的展开式中，求 (1)第5项； (2)求含x2的项． 【解】　二项式的通项为Tk＋1＝C()7－k＝(－1)kCx，k＝0 ... ...