6.2.4　第2课时　组合中的综合问题（教师版）

第2课时　组合中的综合问题 学习目标 1.能用组合知识求解具有限制条件的问题．　2.能用排列与组合解决与几何有关的问题、分组分配等问题． eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　)) 一　有限制条件的组合问题 INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例7)课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． 【解】　(1)方法一：至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825(种). 方法二：采用排除法有C－C＝825(种). (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966(种). (3)分两种情况： 第一类：女队长当选，有C种； 第二类：女队长不当选，男队长当选，有C·C＋C·C＋C·C＋C种． 故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种).　 【变式探究】 1．(设问变式)在本例条件下，男队长必须当选且女生多于男生有多少种选法？ 解：分两类情况： 第一类，女生3人男生2人(含男队长)，有CC＝70(种)， 第二类，女生4人男生1人(男队长)有C＝5(种)， 所以男队长必须当选且女生多于男生有70＋5＝75种选法． 2．(设问变式)在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 解：分两类情况： 第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人，有C＝462(种). 第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有C＋C＝660(种). 所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122(种).　 INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 有限制条件的组合问题的解题策略 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类： (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． [跟踪训练1] 一个口袋中有大小相同且编有不同的号码的8个白球和5个彩球． (1)若一次取2个球，至少有一个白球的取法有多少种？ (2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有多少种取法？ 解：(1)若一次取2个球，至少有一个白球有两种可能：“两个都是白球”或“一个白球一个彩球”，故不同的取法有C＋CC＝28＋40＝68(种). (2)若一次取出颜色不全相同的3个球，有两种可能：“两个白球一个彩球”或“一个白球两个彩球”，故不同的取法有CC＋CC＝140＋80＝220(种). 二　与几何图形有关的组合问题 INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别有5个点和6个点(都不同于点O)，这连同点O在内的12个点可以确定多少个不同的三角形？ INCLUDEPICTURE "HK17.TIF" INCLUDEPICTURE "HK17.TIF" \* MERGEFORMAT 【解】　当取到点O时，在OA，OB上各取一点(与点O不同)，有CC＝30(个)；　 当不取到点O时，第1类：从OB上取两点(与点O不同)，在OA上取一个点(与点O不同)，有CC＝75(个)；第2类：从OA上取两点(与点O不同)，在OB上取一个点(与点O不同)，有CC＝60(个). 所以这连同点O在内的12个点可以确定的不同的三角形共有30＋75＋60＝165(个). INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 与几何图 ... ...