6.3.1　二项式定理（教师版）

6．3　二项式定理 6．3.1　二项式定理 学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理．　2.掌握二项式定理及二项展开式的通项．　3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　)) INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" 观察以下各式： (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， … 思考1　展开式的项数与二项式的次数有关系吗？ 提示：有关系，展开式的项数比二项式的次数多1. 思考2　展开式中各项的次数与二项式的次数有关系吗？ 提示：有关系，展开式中各项的次数与二项式的次数相等. 思考3　对于(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2，如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 提示：(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，将它们相乘才能得到展开式的一项．因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－kbk(k＝0，1，2)的形式．而且a2－kbk相当于从2个(a＋b)中取k个b的组合数C，即a2－kbk的系数是C. 一　二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝_____(n∈N*) 二项展开式 等式右边的多项式，展开式中共有_____项 二项式系数 各项的系数_____(k＝0，1，2，…，n) 通项 Tk＋1＝_____ [答案自填] Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn　n＋1　C　Can－kbk 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项相同．(　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．C＋2C＋4C＋…＋2n－1C＝(　　) A．3n B．2·3n C．－1 D． 解析：选D．C＋2C＋4C＋…＋2n－1·C＝(21C＋22C＋23C＋…＋2nC)＝(20C＋21C＋22C＋23C＋…＋2nC)－＝(1＋2)n－＝.故选D． 3．(－)5的展开式为_____． 解析：(－)5展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r(－)r＝(－1)r·Cx，所以展开式为x－5x＋10x－10x＋5x－x. 答案：x－5x＋10x－10x＋5x－x INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" 二项式定理的正用与逆用 (1)正用：(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用：逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 二　求二项展开式的特定项 　在(－)7的展开式中，求： (1)第5项； (2)含x2的项． 【解】　(1)(－)7的展开式的通项为Tk＋1＝C()7－k·()k＝(－1)kCx，k＝0，1，…，7， T5＝(－1)4Cx＝35x. (2)令＝2，解得k＝2，所以展开式中含x2的项为(－1)2Cx2＝21x2. 【变式探究】 1．(设问变式)本例条件不变，求展开式中的有理项． 解：由本例(1)解析的通项可知，当且仅当为整数时，Tk＋1为有理项，因为0≤k≤7，k∈N，所以k＝2，6，即展开式中的有理项共2项，它们分别是 T3＝(－1)2Cx2＝21x2，T7＝(－1)6Cx－1＝7x－1. 2．(设问变式)本例条件不变，展开式中是否存在常数项？如果存在，求出常数项；如果不存在，请说明理由． 解：若Tk＋1为常数项，当且仅当＝0， 即k＝，与0≤k≤7，k∈N矛盾， 所以展开式中不存在常数项． INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项． (2)求二项展开式的 ... ...