7.3.1　离散型随机变量的均值（教师版）

7．3　离散型随机变量的数字特征 7．3.1　离散型随机变量的均值 学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及均值的概念．　2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值．　3.掌握两点分布的均值．　4.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　)) INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件．如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？如何比较两个选手的射击情况？如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率较大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识． 假如某人射击10次，所得环数分别是7，7，7，7，8，8，8，9，9，10. 思考1　此人射击所得的平均环数是多少？ 提示：平均环数为 ＝7×＋8×＋9×＋10×＝8. 思考2　7×＋8×＋9×＋10×式子中分数的含义是什么？ 提示：每个分数表示相应数据的频率，如是7在数据中出现的频率． 一　离散型随机变量的均值 1．均值的定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝_____＝_____为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． 2．两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 3．均值的意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的_____． [答案自填] x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　ipi 平均水平 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　) (3)已知随机变量X的取值为0，1，若P(X＝0)＝，则E(X)＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 　　　　　　　　　　　　　　　 则X的均值E(X)＝(　　) A．2 B．2或 C． D．1 解析：选C.由分布列的性质知，＋＝1，解得a＝1或a＝－2(舍去).所以E(X)＝0×＋1×＝. 3．一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个．现从中任意取出3个小球，若取到红球得2分，取到黄球得3分，取到绿球得4分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的均值为_____． 解析：依题设，ξ的可能取值为7，8，9，10，11. 则P(ξ＝7)＝ eq \f(C,C) ＝，P(ξ＝8)＝ eq \f(C＋C,C) ＝， P(ξ＝9)＝ eq \f(C·C·C,C) ＝， P(ξ＝10)＝ eq \f(C＋C,C) ＝，P(ξ＝11)＝ eq \f(C,C) ＝， 所以E(ξ)＝7×＋8×＋9×＋10×＋11×＝9. 答案：9 INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 求离散型随机变量均值的一般步骤 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值； 第二步是“探求概率”，即求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； 第四步是“求均值”，利用均值的定义求均值． 二　离散型随机变量的均值的性质 如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝_____． [答案自填] aE(X)＋b INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m (1)求E(X)； (2)若Y＝2X－3，求E(Y). 【解】　(1)依题意，由分布列的性质得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，E(X)＝－2×－1 ... ...