7.3.2　离散型随机变量的方差（教师版）

7．3.2　离散型随机变量的方差 学习目标 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．　2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　)) INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 甲、乙两位同学射击情况如下表所示： 甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 思考1　要从甲、乙两名同学中挑出一人代表班级参加射击比赛．根据平均射击水平，能挑选出哪位同学参赛？ 提示：E(X1)＝8，E(X2)＝8，因为两个均值相等，两名同学的射击水平一样，无法挑选参赛选手． 思考2　 试想用什么指标区分甲、乙两名同学的射击水平？ 提示：可以考虑谁的成绩稳定或不稳定，集中或分散的指标来区分． 一　离散型随机变量的方差 1．定义 设离散型随机变量X的分布列如表所示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝_____为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称_____为随机变量X的标准差，记为σ(X). 2．意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的_____．方差或标准差越小，随机变量的取值越_____；方差或标准差越大，随机变量的取值越_____． [答案自填] (xi－E(X))2pi　 离散程度　集中　分散 INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例5)袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用X表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球，求X的方差． 【解】　由题意知X的可能取值为1，2，3，当X＝1时，有(1，1)一种情况； 当X＝2时，有(1，2)，(2，1)，(2，2)三种情况； 当X＝3时，有(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)五种情况， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以X的均值为E(X)＝1×＋2×＋3×＝， 方差为D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝. INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 求离散型随机变量X的方差的基本步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能取值． (2)写出X的分布列． (3)由均值的定义求出E(X). (4)利用公式D(X)＝(xi－E(X))2pi，求出D(X). [跟踪训练1] 小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0～9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止．设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、均值及方差． 解：由题意，X的可能取值为1，2，3， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以均值E(X)＝1×＋2×＋3×＝，方差D(X)＝(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＝. 二　离散型随机变量的方差的性质 1．D(X＋b)＝_____； 2．D(aX)＝_____； 3．D(aX＋b)＝_____； 4．D(X)＝E(X2)－(E(X))2. [答案自填] D(X)　a2D(X)　a2D(X) INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知X的分布列为 X －1 0 1 P a (1)求X2的分布列及均值； (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 【解】　(1)由分布列的性质知＋＋a＝1，解得a＝， 所以X2的分布列为 X2 0 1 P E(X2)＝0×＋1×＝. (2)方法一：由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝－1×＋0× ... ...