章末复习提升（教师版）

章末复习提升 eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　)) INCLUDEPICTURE "A60.TIF" eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　)) 要点一　线性回归分析 线性回归分析是对具有线性相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．其基本步骤为通过散点图或样本相关系数确定两个变量具有线性相关关系，再利用最小二乘法求得经验回归方程，最后应用于实际或对响应变量进行预测．主要培养数学建模和数据分析的素养． 训练1　数据显示，中国在线直播用户规模及在线直播购物规模近几年都保持高速增长态势，某线下家电商场为提升人气和提高营业额也开通了在线直播，下表统计了该商场开通在线直播的第x天的线下顾客人数y(单位：百人)的数据： x 1 2 3 4 5 y 10 12 15 18 20 (1)根据第1至第5天的数据分析，计算变量y与x的样本相关系数r，并用r判断变量y与x线性相关程度的强弱(当|r|≥0.75时，认为y与x线性相关程度很强，精确到小数点后三位)； (2)根据第1至第5天的数据分析，可用经验回归模型拟合y与x的关系，试求出该经验回归方程，并估计该商场开通在线直播的第10天的线下顾客人数．(参考公式：样本相关系数r＝，参考数据：≈13.038，经验回归方程： ＝x＋，其中＝＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)－n\o(x,\s\up6(－))2) ，＝－ ) 解：(1)依题意可得＝＝3， ＝＝15， iyi＝1×10＋2×12＋3×15＋4×18＋5×20＝251， ＝ ＝ ， ＝ ＝2， 所以r＝≈0.997， 因为r>0.75， 所以变量y与x线性相关程度很强． (2)因为＝12＋22＋32＋42＋52＝55， 所以＝ eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)－5\o(x,\s\up6(－))2) ＝＝2.6， 所以＝－＝15－2.6×3＝7.2， 所以＝2.6x＋7.2，所以当x＝10时，＝2.6×10＋7.2＝33.2(百人)， 故预估该商场开通在线直播的第10天的线下顾客有33.2百人． 要点二　非线性回归模型的应用 转化与化归思想主要体现在非线性回归分析中．在实际问题中，并非所有的变量关系均满足线性关系，故要选择适当的函数模型去拟合样本数据，再通过代数变换，把非线性问题线性化．主要培养数学建模和数学运算的素养． 训练2　某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x(单位：亿元)对年盈利额y(单位：亿元)的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额xi和年盈利额yi(i＝1，2，…，10)的数据进行分析，建立了两个函数模型：y＝α＋βx2，y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数，令ui＝x，vi＝ln yi(i＝1，2，…，10)，经计算得如下数据： ＝26 ＝215 ＝680 ＝5.36 (xi－)2＝100 (ui－)2＝22 500 (ui－)·(yi－)＝260 (yi－)2＝4 (vi－)2＝4 (xi－)·(vi－)＝18 (1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？ (2)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的非线性经验回归方程．(系数精确到0.01) 附：样本相关系数r＝， 经验回归方程＝x＋中： ＝，＝－. 解：(1)设模型y＝α＋βx2的样本相关系数为r1，模型y＝eλx＋t的样本相关系数为r2，对于模型y＝α＋βx2，令u＝x2，即y＝α＋βu， 所以r1＝＝≈0.87， 对于模型y＝eλx＋t，两边取对数， 可得ln y＝ln eλx＋t＝λx＋t， 令v＝ln y，即v＝λx＋t， 所以r2＝＝＝0.9， 因为r1