5.4　数列的应用（教师版）

5．4　数列的应用 |1.能够把实际问题转化成数列问题．　2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程． eq \o(\s\up7()) INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" 我国现代都市人的消费观念正在改变———花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物、分期付款已深入我们的生活．但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？让我们一起进入今天的学习吧！ 一　分期还款与数列 角度1　等额本金还款法 _____ 　某商店在2024年11月采用分期付款的方式促销一款价格为6 000元/台的电脑．商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分从本月月底开始，按每月月底以等额本金还款的方式支付欠款，12个月还清．已知欠款的月利率为0.5%，那么2025年7月底货主应还款_____元． 【解析】　因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即6 000×＝4 000(元)，所以根据等额本金还款法，每月应还本金＝(元). 因为到2025年6月底货主交完还款后，货主还欠货款4 000－×8＝(元)，所以2025年7月底应还利息×0.5%＝(元)，所以2025年7月底货主应还款＋＝＝340(元). 【答案】　340 eq \a\vs4\al() 等额本金还款法 (1)“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率． (2)每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率．　 角度2　等额本息还款法 _____ INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" 　(对接教材例2)小明于某年10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价6 000 元的手机，约定从下月5日按等额本息的方式(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款a元，1年还清．其中月利率为0.5%，则a＝_____．(精确到个位)(参考数据：1.00511≈1.056，1.00512≈1.062，1.00513≈1.067) 【解析】　方法一：已知小明每月还款数为a元，第1月还款的本金为元； 第2月还款的本金为元； …… ； 第12月还款的本金为元． 所以＋＋…＋＝6 000. 由等比数列求和公式可得 ＝6 000， 所以a ＝ 30 ×≈514. 方法二：已知小明每月还款数为a元，则6 000×(1＋0.005)12＝a＋a(1＋0.005)＋a(1＋0.005)2＋…＋a(1＋0.005)11，所以6 000×1.00512＝，所以a＝ 30 × ≈514. 【答案】　514 eq \a\vs4\al() 等额本息还款法 (1)“等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此每一期所还钱数相等． (2)每期还款金额 ＝.　 [跟踪训练1] 王某2024年12月31日向某银行贷款100 000元，若银行贷款年利率为5%，且此贷款分十年还清(2034年12月31日还清)，每年年底等额还款(每次还款金额相同)，设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元． (1)设每年的还款额为m元，请用m表示出a2； (2)求每年的还款额．(精准到1元) 解：(1)由题意得a2＝100 000(1＋5%)2－(1＋5%)m－m＝110 250－2.05m. (2)因为 100 000(1＋5%)10＝1.059×m＋1.058×m＋…＋m， 所以 100 000 ×1.0510＝， 解得 m≈12 950，即每年的还款额约为12 950元． 二　政府支出的“乘数”效应与数列 　某地为生态环境建设，2024年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2024年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加. (1)设n年内(2024年为第一年)总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式； (2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入． (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0) 【解】　(1)2024年投入为1 000万元，第n年投入为1 000×n－1万元，所以n年内的总投入为Sn＝1 000＋1 000×＋…＋1 000×n－1＝＝5 000×， 2024年收入为500 ... ...