5.3.2　第1课时　等比数列的前n项和公式（教师版）

5．3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和公式 | 1.了解等比数列前n项和公式的推导过程．　2.掌握等比数列的前n项和公式．　3.熟练掌握等比数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．　4.理解等比数列前n项和的函数特征． eq \o(\s\up7( INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )) INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 同学们，对于等差数列{an}，我们用倒序相加法求得了其前n项和Sn，那么对于等比数列{an}，我们如何求其前n项和Sn呢？ 思考　若S64＝1＋21＋22＋23＋…＋263，如何求S64 提示：因为S64＝1＋21＋22＋23＋…＋263，① 所以2S64＝21＋22＋23＋…＋263＋264，② 由②－①化简得，S64＝264－1. 一　等比数列前n 项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 公式一：Sn＝ 公式二：Sn＝ [答案自填] 　 【即时练】 1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5＝(　　) A．93 B．－93 C．45 D．－45 解析：选A．S5＝＝＝93. 2．(多选)已知{an}是首项为，公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，且9S3＝S6，则(　　) A．q＝2 B．q＝1或2 C．a3＝ D．a2＋a3＝2 解析：选ACD．因为9S3＝S6，所以q≠1，所以9×＝，所以9＝1＋q3，解得q＝2，故A正确，B错误；a2＝a1q＝，a3＝a1q2＝，a2＋a3＝2，故C，D正确．故选ACD． 3．已知数列{an}是各项为正的等比数列，a1＝1，a5＝1，则其前10项和S10＝_____． 解析：因为数列{an}是各项为正的等比数列，则其公比q>0， 又a1＝1，a5＝1，则q4＝＝1，即q＝1， 所以数列{an}为常数列，即an＝a1＝1，所以S10＝10a1＝10. 答案：10 4.在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝－8，则|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝_____． 解析：由题意知在等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8， 设公比为q，则a4＝a1q3＝－8，即q＝－2，故an＝(－2)n－1，则|an|＝2n－1，则{|an|}是首项为1，公比为2的等比数列，故|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝1＋2＋4＋…＋2n－1＝＝2n－1. 答案：2n－1 eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ) 求等比数列的前n项和时，需对公比q＝1与q≠1两种情况进行讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和．　 二　等比数列前n项和公式的有关计算 INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在等比数列{an}中． (1)若a1＝，an＝16，Sn＝11，求n和q； (2)已知S4＝1，S8＝17，求an. 【解】　(1)由Sn＝，得11＝，解得q＝－2，又由an＝a1qn－1，得16＝·(－2)n－1，解得n＝5. 所以n＝5，q＝－2. (2)显然q≠1，则S4＝＝1，S8＝＝17， 两式相除得＝1＋q4＝17， 解得q＝±2，当q＝2时可解得a1＝， 则an＝·2n－1； 当q＝－2时可解得a1＝－， 则an＝－·(－2)n－1.　 所以an＝·2n－1或an＝－·(－2)n－1. eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B选择性必修第三册/解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ) 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体．　 [跟踪训练1] (1)已知等比数列{an}满足a3＝12，a8＝，若{an}的前n项和Sn＝93，则n＝(　　) A．5 B．6 C．7 D ... ...