6.3　利用导数解决实际问题（教师版）

6．3　利用导数解决实际问题 1.了解导数在解决实际问题中的作用．　2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的最优化问题的方法． 在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最小等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题．因为利用导数可以求得最值，所以利用导数可以解决最优化问题，下面我们通过实例学习． 一　成本最低、用料最省问题 　某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元． (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 【解】　(1)相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，则y＝256＋(2＋)x·＝256·＋m＋2m－256(026时，f′(x)>0， 则f(x)单调递增， 当00，则函数y单调递增，即当x＝15时， 函数y＝a＋a(100－x)取最小值． 故D处应选在距点B处15 km时运费最省． 二　面积、容积的最值问题 　(对接教材例2)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3 m，AD＝2 m. (1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长应在什么范围内？ (2)当AN的长是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小面积． 【解】　(1)设AN的长为x m(x>2)，矩形AMPN的面积为S， 由题意可知，＝，即＝，所以AM＝， 所以S＝x·＝， 由S>32，得>32， 又因为x>2， 所以3x2－32(x－2)>0，即(3x－8)(x－8)>0(x>2)， 解得28， 即AN的长的取值范围是∪(8，＋∞). (2)由(1)知S＝(x>2)， 所以S′＝＝＝， 令S′＝0，得x＝4， 当24时，S′>0，则函数S单调递增， 所以当x＝4时，S取极小值，且为最小值， 即AN的长为4 m时，矩形AMPN的面积最小，最小为24 m2. 解决面积、容积的最值问题的方法 解决面积、容积的最值问题时，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． [注意]　(1)在求最值时，往往需要建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的． (2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． [跟踪训练2] 如图，在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图1.若用剩下的部分折成一个无盖的正三 ... ...