培优3　导数中的函数构造问题（教师版）

INCLUDEPICTURE "培优3LLL.TIF" 　导数中的函数构造问题 　　导数中的构造函数问题常以选择题或填空题的形式考查，函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而导数中的构造函数问题的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，在解决问题的过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标．怎样合理的构造函数就是问题的关键，下面就从以下两种类型谈谈构造函数的技巧． 类型一　构造和与差形式的函数 (1)若f′(x)＞a(a≠0)，即导函数大于某个非零常数(a＝0，则无须构造)，构造函数h(x)＝f(x)－ax. (2)对于不等式f′(x)＋g′(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；对于不等式f′(x)－g′(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x). INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" 　函数y＝f(x)，x∈R，f(1)＝2 025，对任意的x∈R，都有f′(x)－3x2＞0成立，则不等式f(x)＜x3＋2 024的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(－1，1) D．(1，＋∞) 【解析】　设h(x)＝f(x)－x3， 则h′(x)＝f′(x)－3x2＞0， 所以h(x)在R上单调递增， h(1)＝f(1)－13＝2 024， 而f(x)＜x3＋2 024，所以f(x)－x3＜h(1)， 即h(x)＜h(1)， 所以x＜1，所以不等式f(x)0恒成立，a，b(a>b)为常数，则下列不等式一定成立的是(　　) A．af(a)>bf(b) B．af(b)>bf(a) C．af(a)0，则不等式f(x)0恒成立，故g(x)在R上单调递增．因为a>b，所以g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b).故选A． (2)构造F(x)＝，所以F′(x)＝， 因为对任意实数都有f(x)－f′(x)>0， 所以F′(x)<0，即F(x)为R上的减函数， 因为f(1)＝，则F(1)＝＝， 由f(x)1，所以不等式f(x)1， 即f(x)<＋的解集为(1，＋∞).故选D． 2．已知f(x)为定义在R上的可导函数，且满足f(x)>f′(x)，对任意的正数a，b，若aebf(b)　　 B．eaf(a)ebf(a) 解析：选C．令函数g(x)＝(x∈R)， 则g′(x)＝， 因为f(x)>f′(x)，故g′(x)<0，g(x)在R上单调递减． 又ag(b)，即>，故eaf(b)