2．3　三角函数的叠加及其应用（教师版）

2．3　三角函数的叠加及其应用 1.初步掌握两角和与差的三角函数公式和公式的由来以及公式的正用和逆用．　2.理解三角函数叠加公式的结构形式，并利用公式进行化简． INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" 思考　式子sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°可以化简成什么式子？式子sin 20°－cos 20°能否化为只含有一个三角函数的形式？式子sin x－cos x呢？ 提示：sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°＝sin(20°＋30°)＝sin 50°； sin 20°－cos 20°＝sin 20°cos 60°－cos 20°sin 60°＝sin(20°－60°)＝－sin 40°； sin x－cos x＝＝ ＝sin (x－). 1．三角函数的叠加公式 a sin α＋b cos α＝_____(a，b不同时为0).其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由_____和_____的值确定，也就是由tan φ＝_____来确定． 2．几个振幅和初相不同但_____相同的正弦波之和，总是_____另一个具有相同频率的正弦波． [答案自填] sin (α＋φ)　sin φ cos φ　　频率　等于 　(对接教材例5)(1)化简cos x＋sin x＝(　　) A．2cos B．2cos C．2cos D．2cos (2)已知向量a＝(sin α，1)，b＝(3，3cos α－)，若a⊥b，则cos ＝_____． 【解析】　(1)原式＝2(cos x＋sin x) ＝2＝2cos . (2)由a⊥b得a·b＝0，即3sin α＋3cos α－＝0，因此sin α＋cos α＝，即cos ＝，于是cos ＝，故cos ＝. 【答案】　(1)B　(2) eq \a\vs4\al() 应用三角函数的叠加公式找角的三个注意点 (1)同一个角：在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和与差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角． (2)灵活找角：找角可以灵活，不必拘于结论的形式，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角． (3)特殊角：看到特殊值，1，，时，一定要考虑引入特殊角，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正余弦，那么可用抽象的φ来代替，再在旁边标注φ的一个三角函数值． [跟踪训练1] (1)已知cos (x－)＝－，则cos x＋cos (x－)＝(　　) A．－ B．± C．－1 D．±1 解析：选C.cos x＋cos (x－) ＝cos x＋cos x cos ＋sin x sin ＝cos x＋sin x ＝ ＝cos ＝－×＝－1，故选C. (2)计算：(tan 10°－)sin 40°＝_____． 解析：(tan 10°－)sin 40° ＝(－)sin 40° ＝·sin 40° ＝·sin 40° ＝ ＝ ＝＝－1. 答案：－1 　函数y＝(sin 2x＋cos 2x)的图象向左平移个单位长度得到下列哪个函数的图象(　　) A．y＝sin (2x－) B．y＝－sin (2x＋) C．y＝－cos (2x＋) D．y＝cos (2x＋) 【解析】　y＝(sin 2x＋cos 2x)＝sin (2x＋)的图象向左平移个单位长度得到y＝sin ＝cos (2x＋)＝－sin 的图象，故选D. 【答案】　D eq \a\vs4\al() 研究三角函数图象的变换时，要把三角函数式化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的形式后解决问题． [跟踪训练2] 为了得到函数y＝sin x－cos x的图象，只要把y＝2sin x的图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：选B.因为y＝sin x－cos x＝2sin (x－)，所以为了得到函数y＝2sin (x－)的图象，只需把函数y＝2sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度．故选B. 　(对接教材例6)函数f(x)＝sin (x＋)＋cos (x－)的最大值为(　　) A． B．1 C． D． 【解析】　方法一：因为f(x)＝sin ＋cos ＝＋cos x＋sin x＝sin x＋cos x＝×2sin ＝sin ，所以f(x)的最大值为.故选A. 方法二：因为－＝， 所以x－＝－， 所以cos ＝cos ＝sin . 所以f(x)＝sin ＋sin ＝sin . 所以f(x)的最大值为. 【答案】　A 【变式探究】 1．(综合变式)本例 ... ...