培优3 折叠问题（教师版）

　折叠问题 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，首先找到折叠前后的不变量与变量，即找到哪些线、面的位置关系和哪些线段的长度没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征． 解决此类问题的步骤为：第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量．第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面．第三步：利用判定定理或性质定理进行证明． 类型一 探究点线面的位置关系 　(多选)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝BC＝2，E，F分别为AC，BC的中点，△DAC沿着AC翻折，使点D到点P处，得到三棱锥P-ABC，则下列说法正确的是(　　) A．存在某个位置的点P，使AC⊥平面PAB B．异面直线PE与AB的夹角的正弦值和二面角P-AC-B的正弦值相等 C.若平面PAC⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是20π D．必存在某个位置的点P，使FC＝FP 【解析】　在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝BC＝2，则梯形ABCD为等腰梯形，如图1，过A作BC的垂线，垂足为H，F为BC中点，则有BH＝1，HC＝3，由勾股定理得AH＝，AC＝2，AF＝FC＝2，∠BAH＝30°，∠CAH＝60°，所以∠BAC＝90°，则AB⊥AC. 对于A，假设存在某个位置的点P，使AC⊥平面PAB，由PA 平面PAB，则AC⊥PA，即在梯形ABCD中，AC⊥AD，显然不成立，故A错误；对于B，如图2，因为AC的中点为E，PA＝PC，则PE⊥AC，又F为BC中点，所以AB∥EF，则异面直线PE与AB的夹角为∠PEF(或其补角)，又AB⊥AC，则EF⊥AC，所以∠PEF即为二面角P-AC-B，所以异面直线PE与AB的夹角的正弦值和二面角P-AC-B的正弦值相等，故B正确；对于C，若平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PE 平面PAC，PE⊥AC，则PE⊥平面ABC，在△PAC中，PA＝PC＝2，∠APC＝120°，则PE＝1，△ABC外接圆的圆心为BC的中点F，半径为FC＝2， 设三棱锥P-ABC外接球球心为O，半径为R，OF＝a，如图3，过球心O作EF的平行线，与PE的延长线交于点Q，BF＝2，PE＝1，EF＝AB＝1，由OB2＝BF2＋OF2，OP2＝OQ2＋PQ2，得R2＝22＋a2＝12＋(1＋a)2，解得a＝1，则有R2＝5，所以三棱锥P-ABC外接球的表面积是20π，故C正确；对于D，在梯形ABCD中，四边形AFCD为菱形，∠DCF＝60°，则FC＝FD＝2，翻折过程中，P点轨迹是以FD的中点为圆心，FD为直径的半圆弧(不包括D点和F点)，则FP