培优2 球的切、接问题（教师版）

　球的切、接问题 空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点．所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球．求解此类问题的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径R、截面圆的半径r及各几何量之间建立关系． 类型一 外接球问题 角度1　锥体的外接球 对于圆锥(侧棱相等的棱锥)，可得其外接球的球心必在该几何体的高所在的直线上，或者在过底面圆心(棱锥底面外接圆的圆心)且与该底面垂直的一条直线上，建立“心有所依”模型，由此可把相关信息转换到某一个直角三角形，利用勾股定理求解． 　已知三棱锥A-BCD，AB＝AC＝AD＝2，BC＝BD＝CD＝3，则三棱锥A-BCD的外接球表面积为_____． 【解析】　如图：由题意知，底面△BCD为等边三角形，设M为其中心，则BM＝××3＝， 又AB＝AC＝AD＝2，所以该三棱锥为正三棱锥， 所以AM＝＝1，所以外接球半径R>AM，则外接球球心O在AM的延长线上，所以OA＝OB＝R，则OM＝R－1， 所以在Rt△BOM中，OB2＝OM2＋BM2，即R2＝2＋，解得R＝2， 所以外接球表面积为S＝4πR2＝16π. 【答案】　16π 角度2　柱体的外接球 对于圆柱(直棱柱)，结合球与圆柱(直棱柱)的有关性质，建立“汉堡”模型，上、下底面圆心(外接圆的圆心)连线的中点即为球心，球心到上、下底面圆周上的任一点(各个顶点)的距离都等于球的半径． 　已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的表面上，若这个三棱柱的体积为9，AB＝3，则AA1＝_____，球O的表面积为_____． 【解析】　根据题意，设正三棱柱的高AA1＝h， 因为正三棱柱的体积为9，AB＝3，所以V＝S△ABC·h，代入可得9＝×32×h，解得h＝4. 因为正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的表面上， 由球的截面性质可知，球心位于过底面△ABC外接圆圆心的垂线上，结合棱柱的对称性可知，球心为正三棱柱上、下底面中心连线的中点． 设底面△ABC的外接圆半径为r，则由正弦定理可知2r＝，代入可得r＝＝， 设正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半径为R，由勾股定理可知R2＝r2＋， 代入可得R2＝3＋＝7， 则由球的表面积公式可知正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×7＝28π. 【答案】　4　28π 角度3　补形法与外接球 对于具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直特征的几何体，构建“墙角”模型，将三棱锥放入伴随长方体中，将棱锥的外接球转化为长方体的外接球，不用找出球心的具体位置，这是处理此类问题的简捷途径． 　已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，且AB⊥平面BCD，AB＝BD＝CD＝2，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为(　　) A．3π B．2π C．4π D．12π 【解析】　因为BD＝CD＝2，且△BCD为直角三角形，所以BD⊥CD.又AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，所以CD⊥AB，又AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，所以CD⊥平面ABD. 由此可将四面体ABCD放入棱长为2的正方体中，如图所示， 所以正方体的外接球即为该四面体的外接球O， 正方体外接球的半径为正方体体对角线的一半，即R＝×＝， 所以球O的表面积S＝4πR2＝12π. 【答案】　D 类型二 内切球问题 常见内切球问题的求解策略： (1)多面体的内切球，可用体积分割法(等体积法)求内切球的半径． (2)圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h，R＝. (3)内切球的球心到切点的距离相等且为半径，可作过球心的截面求半径． 　已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积． 【解】　如图，球O是正三棱锥P-ABC的内切球，O到正三棱锥四个面的距 ... ...