7．1.2　弧度制及其与角度制的换算（教师版）

7．1.2　弧度制及其与角度制的换算 1.了解弧度制的概念．　2.能进行弧度与角度的相互转化．　3.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式． INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 同学们，弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度，世界才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵…….而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变． 思考1　在初中学过的角度中，1度的角是如何规定的？ 提示：1度的角等于周角的. 思考2　在给定半径的圆中，当弧长一定时，圆心角确定吗？ 提示：圆心角是确定的． 思考3　 射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的两点P，Q(不同于点O)形成的轨迹的长度为l，l1，其中OP＝r，OQ＝r1，则在旋转过程中，弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系？ 提示：设α＝n°，因为l1＝，所以＝n. 故＝. 1．定义：用度作单位来度量角的制度称为_____，以_____为单位来度量角的制度称为弧度制． 2．度量方法：长度等于_____的圆弧所对的圆心角为1弧度的角． 3．记法：弧度单位用符号“_____”表示，或用“弧度”两个字表示． 4．公式：在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则 α＝_____． 点拨　(1)以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可． (2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值． [答案自填] 角度制　弧度　半径长　rad 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)1 rad的角比1°的角要大．(　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关.(　　) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．(　　) (4)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．要在半径OA＝100 cm的圆形金属板上截取一块扇形板OAB，使弧AB的长为120 cm，则圆心角∠AOB＝(　　) A. rad B． rad C． rad D． rad 解析：选B.设扇形弧长为l，圆心角为α，半径为r，则α＝＝＝ rad.故选B. 3．若圆O上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角(正角)的大小为_____． 解析：圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角． 答案：1弧度 eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT ) 关于弧度制的理解 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系．　 1．角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝_____ rad 2π rad＝_____ 180°＝_____ rad π rad＝_____ 1°＝ rad≈0．017 45 rad 1 rad＝()°≈57．30°＝57°18′ 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° ____ 90° 120° 弧度 0 度 135° 150° ____ 270° 360° 弧度 π ____ [答案自填] 2π　360°　π　180°　60°　180°　2π INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．47°30′化成弧度是π B．－π化成角度是－600° C.－150°化成弧度是－π D．化成角度是15° 【解析】　对于A，47°30′化成弧度是×47.5＝π，故A正确；对于B，－π＝－×180°＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝－π，故C错 ... ...